一、刀具補償的提出
用立銑刀在數控機床上加工工件，可以清楚看出刀具中心運動軌計與工件輪廓不重合，這是因為工件輪廓是立銑刀運動包絡形成的。立銑刀的中心稱為刀具的刀位點（4、5坐標數控機床稱為刀位矢量），刀位點的運動軌計即代表刀具的運動軌跡。在數控加工中，是按工件輪廓尺寸編制程序，還是按刀位點的運動軌跡尺寸編制程序，這要根據具體情況來處理。
數控機床立銑刀加工
在全功能數控機床中，數控系統有刀具補償功能，可按工件輪廓尺寸進行編制程序，建立、執行刀補后，數控系統自動計算，刀位點自動調整到刀具運動軌跡上。直接利用工件尺寸編制加工程序，刀具磨損，更換加工程序不變，因此使用簡單、方便。
經濟型數控機床結構簡單，售價低，在生產企業中有一定的擁有量。在經濟型數控機床系統中，如果沒有刀具補償功能，只能按刀位點的運動軌跡尺寸編制加工程序，這就要求先根據工件輪廓尺寸和刀具直徑計算出刀位點的軌跡尺寸。因此計算量大、復雜，且刀具磨損、更換需重新計算刀位點的軌跡尺寸，重新編制加工程序。
二、全功能數控機床系統中刀具補償
1．數控車床刀具補償
數控車床刀具補償功能包括刀具位置補償和刀具圓弧半徑補償兩方面。在加工程序中用T功能指定，TXXXX中前兩個XX為刀具號，后兩個XX為刀具補償號，如T0202。如果刀具補償號為00，則表示取消刀補。
（1）刀具位置補償 刀具磨損或重新安裝刀具引起的刀具位置變化，建立、執行刀具位置補償后，其加工程序不需要重新編制。辦法是測出每把刀具的位置并輸入到指定的存儲器內，程序執行刀具補償指令后，刀具的實際位置就代替了原來位置。
如果沒有刀具補償，刀具從0點移動到1點，對應程序段是N60 G00 C45 X93 T0200，如果刀具補償是X=+3，Z=+4，并存入對應補償存儲器中，執行刀補后，刀具將從0點移動到2點，而不是1點，對應程序段是N60 G00 X45 Z93 T0202。
（2）刀具圓弧半徑補償 編制數控車床加工程序時，車刀刀尖被看作是一個點（假想刀尖P點），但實際上為了提高刀具的使用壽命和降低工件表面粗糙度，車刀刀尖被磨成半徑不大的圓弧（刀尖AB圓弧），如圖3所示，這必將產生加工工件的形狀誤差。另一方面，刀尖圓弧所處位置，車刀的形狀對工件加工也將產生影響，而這些可采用刀具圓弧半徑補償來解決。車刀的形狀和位置參數稱為刀尖方位，如圖4所示，用參數0～9表示，P點為理論刀尖點。
（3）刀補參數 每一個刀具補償號對應刀具位置補償（X和Z值）和刀具圓弧半徑補償（R和T值）共4個參數，在加工之前輸入到對應的存儲器，CRT上顯示如圖5所示。在自動執行過程中，數控系統按該存儲器中的X、Z、R、T的數值，自動修正刀具的位置誤差和自動進行刀尖圓弧半徑補償。
2．加工中心、數控銑床刀具補償
加工中心、數控銑床的數控系統，刀具補償功能包括刀具半徑補償、夾角補償和長度補償等刀具補償功能。
（1）刀具半徑補償（G41、G42、G40） 刀具的半徑值預先存入存儲器HXX中，XX為存儲器號。執行刀具半徑補償后，數控系統自動計算，并使刀具按照計算結果自動補償。刀具半徑左補償（G41）指刀具偏向編程加工軌跡運動方向的左方（如圖1所示），刀具半徑右補償（G42）指刀具偏向編程加工軌跡運動方向的右方。取消刀具半徑補償用G40，取消刀具半徑補償也可用H00。
使用中需注意：建立、取消刀補時，即使用G41、G42、G40指令的程序段必須使用G00或G01指令，不得使用G02或G03,當刀具半徑補償取負值時，G41和G42的功能互換。
刀具半徑補償有B功能和C功能兩種補償形式。由于B功能刀具半徑補償只根據本段程序進行刀補計算，不能解決程序段之間的過渡問題，要求將工件輪廓處理成圓角過渡，因此工件尖角處工藝性不好，C功能刀具半徑補償能自動處理兩程序段刀具中心軌跡的轉接，可完全按照工件輪廓來編程，因此現代CNC數控機床幾乎都采用C功能刀具半徑補償。這時要求建立刀具半徑補償程序段的后續兩個程序段必須有指定補償平面的位移指令（G00、G01，G02、G03等），否則無法建立正確的刀具補償。
（2）夾角補償 （G39） 兩平面相交為夾角，可能產生超程過切，導致加工誤差，可采用夾角補償（G39）來解決。使用夾角補償（G39）指令時需注意，本指令為非模態的，只在指令的程序段內有效，只能在G41和G42指令后才能使用。
（3）刀具長度偏置（G43、G44、G49） 利用刀具長度偏置（G43、G44）指令可以不改變程序而隨時補償刀具長度的變化，補償量存入由H碼指令的存儲器中。G43表示存儲器中補償量與程序指令的終點坐標值相加，G44表示相減，取消刀具長度偏置可用G49指令或H00指令。程序段 N80 G43 Z56 H05與中，假如05存儲器中值為16，則表示終點坐標值為72mm。
存儲器中補償量的數值，可用MDI或DPL預先存入存儲器，也可用程序段指令G10 P05 R16.0表示在05號存儲器中的補償量為16mm。
三、經濟型數控機床中刀具軌跡的計算
經濟型數控機床系統，如果沒有刀具補償指令，則只能計算出刀位點的運動軌跡尺寸，然后按此編程，或者進行局部補償加工。
1．刀具中心（刀位點）軌跡的計算
在需要計算刀具中心軌跡的數控系統中，要算出與零件輪廓的基點和節點對應的刀具中心上基點和節點的坐標。圖1所示為用φ8立銑刀加工工件曲線時的刀具中心運動軌跡。可以看出，刀具運動軌跡是零件輪廓的等距線，由零件輪廓和刀具半徑可求出。
直線的等距線方程：
所求等距線在原直線上邊時，取“＋”號，反之取“-”號。
圓的等距線方程：
所求等距線為外等距線時，取“＋”號，反之取“－”號。
求解等距線上的基點坐標，只需將相關等距線方程聯立求解。例求3′點的坐標，2點坐標（40，85），3點坐標（70，105）。
A=y2-y3=-20
B=x3-x2=30
C=x3y2-ybx2=1750
求出圓心坐標為 （85，105）。
兩等距線方程聯立：
-20x+30y=1750+144.222
（x-85）+（y-105）=（15+4）
解出 x=66.134 y=107.231
即3′點的坐標為（66.34，107.231），刀具中心軌跡上其他基點或節點的坐標用相同的方法可求出，然后按此編程。
2．數控車床假想刀尖點的偏置計算
在數控車削加工中，為了對刀方便，常以假想刀尖P點來對刀。如果沒有刀尖圓弧半徑補償，在車削錐面或圓弧時，會產生欠切現象。當零件精度要求較高且有錐面或圓弧時，解決辦法為：計算刀尖圓弧中心軌跡尺寸，然后按此編積，進行局部補償計算。
為在車削維面時，由于刀尖圓弧半徑r引起的刀位補償量。采用在Z向和X向同時進行刀具位置補償時，實際刀刃與工件接觸點A移動到編程時刀尖設定點P上，r的補償量可按下式計算：
在編制加工工件錐面程序時，其基點坐標為工件輪廓基點坐標（Z和X）加上刀尖圓弧半徑r的補償量（Dz和DX），這樣就解決了沒有刀尖圓弧半徑補償的問題。
四、結論
在數控加工中，由于刀尖有圓弧,工件輪廓是刀具運動包絡形成，因此刀位點的運動軌跡與工件的輪廓是不重合的。在全功能數控系統中，可應用其刀具補償指令，按工件輪廓尺寸，很方便地進行編程加工。在經濟型數控系統中，可以根據工件輪廓尺寸、刀具等計算出刀位點的運動軌跡，按此編程，也可按局部補償的方法來解決。