0 引 言
    量綱誤用在科學計算程序中是一種常見的錯誤，然而程序設計語言的標準類型系統卻對此無能為力。物理方程中的量綱錯誤可以手工分析出來，然而求解物理方程的計算機程序中的量綱錯誤卻難以被發現，因為計算程序往往很復雜。例如，一些研究者認為火星氣候探測衛星的丟失，是因為程序中把一個英制單位的變量傳遞給了使用公制單位的模塊。因而，量綱的正確性對計算結果的正確性非常重要。
    近年來，研究者們提出了一些量綱檢測方法，典型的如Osprey量綱檢測方法。Osprey方法包含5個主要步驟：
    (1)對待檢測源程序進行單位標注，使得檢測器能夠知道每個變量的單位；
    (2)C語言解析和語法檢查；
    (3)生成包含單位信息的抽象語法樹；
    (4)生成約束CY程)；
    (5)方程的化簡及高斯消去求解(GE)。
    可以看出，Osprey方法步驟較多，每步都需要語言外的其他工具，并需要對其進行修改、擴充，而且最后的高斯消去(GE)計算量非常大，是Osprey方法的性能瓶頸。使用Osprey方法還有一個問題，就是需要同時維護2份源代碼：一份正常代碼用于編譯測試；另一份包含量綱信息的檢測代碼，修改正常代碼后必須及時對檢測代碼進行更新，維護起來也比較繁瑣。此外，由于C++語言的解析非常困難，Osprey方法目前沒有實現對C++程序的量綱檢測。
    針對這些問題，提出一種基于模板元編程的量綱檢測方法TADA(TMP-bAsed Dimensional AnalysisMethod)，其基本思路是利用程序設計語言自身的模板元編程(Template Meta Programming，TMP)功能，讓編譯器在編譯時對程序中的量綱進行準確性檢測，從而可以避免Osprey方法的計算量大等諸多問題。TADA方法具有下列優點：
    (1)TADA方法可使得應用開發人員不需要維護2份代碼，因為使用TADA方法的檢測程序也完全是一個合法的可編譯的程序。
    (2)TADA方法的量綱檢測完全在編譯期間進行，對程序不會引入任何運行時開銷。
    (3)TADA方法無需進行方程組求解工作，可以適用于任何規模的程序。與Osprey等方法類似，TADA方法也需要手工對程序添加量綱信息，其標注的工作量與Osprey等方法相當。但TADA方法中編譯器在進行檢測的時候無需進行Osprey方法中的方程組求解工作，因而不再有Osprey方法的計算瓶頸。
    (4)TADA方法采用模塊化設計，使得單位的表示與匹配檢測之間實現了松耦合，支持用戶可以以一致的方式增加新的單位。

1 模板元編程(TMP)技術
    在C++程序設計語言中，模板元編程是實現代碼重用的一種重要機制。下面首先對模板元編程技術進行介紹，然后給出TADA方法中需要使用的幾個基本的模板元程序。
1．1 模板元編程簡介
    模板可以將類型定義為參數，以提高代碼的可重用性。模板包括類模板和函數模板等。函數模板與模板函數的區別可以類比于類與對象的區別：函數模板是模板的定義；而模板函數是函數模板的實例，具有程序代碼，占用內存空間。當編譯系統發現了函數模板一個對應的函數調用后，根據實參的類型來確認是否匹配函數模板中對應的形參，然后生成一個重載函數，稱該重載函數為模板函數。類似地，在聲明了一個類模板后，也可以創建類模板的實例一模板類。
    類模板的一般形式如下：
    template
    class類名{
    ／／類定義…

    }；
    C++模板系統能夠通過模板的特化、偏特化實現邏輯判斷，并能通過模板遞歸實現循環，構成了一個圖靈完全的二級語言。使用這種二級語言進行編程叫作C++模板元編程(Template Meta Programming，TMP)。模板元編程的驅動力是模板的遞歸實例化。
下面給出C++模板元編程的一個示例。
    首先定義一個類模板，通過該類模板可實現在編譯期間計算4的任意次方。如下所示：

   

    通過下面的程序來使用該模板。

   
    程序Test．cpp執行完后，會正確輸出4的7次方的值，該數值是C++編譯器在編譯模板元程序時遞歸計算得到。由于模板元程序完全在編譯期間執行，相當于對編譯器功能進行擴充，因而利用這種程序進行量綱檢測具有良好的可行性。
1．2 基本模板元程序
    下面給出TADA方法中需要使用的幾個基本的模板元程序。
    (1)靜態判斷

   
    語法：StaticlF：：ResultType
    語義：當cond為真時，ResuhType為T1，否則ResuhType為T2。
    (2)靜態斷言

    語義：當cond為真時什么也不做，否則產生一個編譯期錯誤(UnitError沒有定義，或void函數不應該有返回值)。
    (3)靜態絕對值

    語義：遞歸的使用輾轉相除法在編譯期間求出a與b的最大公約數，其中a與b為int類型。

2 TADA量綱檢測方法
    TADA量綱檢測方法需要涉及到單位和量綱的表示、計算、標注以及數學運算函數的量綱包裝等各個組成步驟，下面將依次對其進行介紹。
2．1 單位和量綱的表示
    在Osprey方法中，量綱是用一個長度為7的向量表示的，每個分量對應一個SI標準量綱。TADA方法中也采用了這種方式。為了簡化闡述，本文只討論長度、重量、時間這三種量綱，其SI單位分別為米、千克和秒(TADA方法可直接推廣到其他各種量綱)。由于TMP程序的特殊性，它并沒有數組或向量的支持，也不能使用浮點數據(使用浮點數表示量綱也會帶來不精確性)，量綱在TMP程序中的表示形式有所不同：用u11，u12，u21，u22，u31，u32之類的整型量分別表示，并輔以ratio表示同量綱、不同單位之間的比值，如分鐘和秒的比值為60。
    TADA方法可靜態地建立如下常用單位：

    模板元程序在計算公式的時候需要推導出新的量綱，例如在計算的時候，編譯器應該能根據等號右邊的公式計算出它的量綱，并與e的量綱進行比較判別。TADA方法的量綱是用分數形式表示的，在每次量綱計算之后都需要進行分數的約分處理，才能進行相等性判斷，因而TADA方法可用如下的方式處理新生成單位，如下所示。

 

2．2 單位和量綱的計算
    由于量綱都是用分數表示的，因而其計算會稍有麻煩。下面定義TADA方法中量綱分數的加、減、乘、除和等價測試運算。
    (1)分數的加法運算，如下所示。

 

    (2)分數的減法運算。TADA方法通過加法實現減法計算，如下所示。

    語義：分數相減并約分，即：

   
    (3)單位相乘。分別將3個量綱分數相加，然后使用BuildUnit生成新單位。

    語義：單位Ua與單位Ub相乘后的新單位。
    (4)單位相除。與乘法處理方式相似。

    語義：若單位ua與單位Ub等價則不產生任何效果，否則產生編譯期錯誤。
2．3 單位和量綱標注的原理和語法
    與Osprey等方法類似，TADA方法也在待檢測源程序進行單位標注，以使得檢測器能夠知道每個變量的單位。由于經過單位標注的待檢測程序仍然是合法的可編譯的程序，所以標注信息必須由語言自身已有的語法要素構成；標注信息還不能影響被標注變量的任何計算特性及使用方式，只有滿足這兩點要求的標注方式才能使標注工作量最小化。此外，已標注變量應該禁止從未標注變量進行各種隱含的類型轉換，這樣嚴格的限制才能有效進行單位量綱的匹配檢測。對于C++語言來說，可以采用模板類的方式實現。
    標注實質上是把語言原始的數據類型替換成TADA方法預定義的模板類，而模板類實現了各種運算符號的重載，同時禁止了任何隱含的類型轉換，使得量綱標注既滿足語法要素的要求，又滿足計算兼容性的要求和禁止隱含轉換的要求。TADA方法中標注的實現如下所示。

 

2．4 定義單位量綱
    量綱檢測系統應該預定義常用單位量綱，以方便應用開發人員使用。TADA方法采用如下方式定義單位量綱：

 

2．5 數學運算函數的量綱包裝
    對于指數、對數、三角函數等已有的數學運算函數，其參數與返回值都是沒有單位量綱的，不能直接用于有量綱的公式計算。針對這個問題，．TADA方法提供了這些函數的量綱包裝，以sqrt和sin為例如下：

2．6 輔助工具
    TADA方法還提供了一些輔助工具，用于將量綱變量以適合閱讀的方式顯示出來，例如：

    可以得到這樣的輸出結果：0.2米/秒2
2．7 分析和評估
    在TADA方法的基礎上，實現了面向C／C++程序的量綱檢測系統(TADA系統)，并對TADA系統的檢測能力進行了分析和評估。
    首先采用TADA系統來檢測下面的樣例程序。

    在TADA系統中，Visual Studio 2003編譯該程序會出現類似如下的錯誤信息，錯誤信息的第3行就表明了unit．epp的第9行有錯誤。

    在檢測能力方面，采用文獻的樣例程序對TA-DA系統和Osprey系統的量綱檢測能力進行了對比評估。在文獻中，Osprey共找到了3個錯誤，其中前2個是單位誤用錯誤，第3個是單位轉換比例因子錯誤。TADA系統也完全找到了前2個錯誤，而第3個錯誤在標注時被避免掉了，因為該單位系統包含了量綱之間的比例因子，能夠進行自動的單位轉換。
    在性能和可擴展性方面，TADA系統能夠更有效地實現對c／c++程序的量綱檢測。Osprey系統引入了具有較高計算復雜度的線性方程組求解步驟，需要很大的計算和時間開銷來解線性解方程組。TADA系統基于模板元編程技術，只需要利用語言自身的語法能力，靠編譯器進行單位量綱檢查，沒有帶來太多額外的復雜計算。并且TADA系統不會帶來任何程序的運行時開銷。因此TADA系統可適用于各種規模的C／C++程序，具有更好的性能和可擴展性。
    在易用性方面，TADA系統的標注負擔與Osprey系統相當。由于TADA系統利用C++編譯器的功能進行錯誤檢測，而C++編譯器遇到模板錯誤時的錯誤信息卻不很直觀，錯誤報告的可讀性較弱，但仍可以快速定位到錯誤點。

3 結 語
    這里提出一種新穎的基于模板元編程的單位量綱檢測方法TADA，并基于該方法實現了一個單位量綱檢測系統。
    TADA方法采用模板元編程技術，使得經過單位量綱標注的受測程序仍然是一個完整、合法、可編譯的C／C++程序，無需維護多套程序代碼，也無需進行復雜的解方程組運算，就能夠在程序代碼中發現量綱錯誤，具有良好的實用性和可擴展性，可以有效適用于多種規模程序的量綱檢測。