摘  要： 提出一種基于概率與信息熵理論的實值屬性離散化方法，綜合考慮了各對合并區間之間的差異性；該方法利用信息熵衡量相鄰區間的相似性，同時考慮離散區間大小和區間類別數對學習精度的影響，并通過概率的方法得到了這兩個因素的衡量標準。仿真結果表明，新方法對See5/C5.0分類器有較好的分類學習能力，并在腫瘤診斷中得到了很好的應用。
關鍵詞： 離散化；數據挖掘；概率；信息熵

　連續屬性離散化是數據挖掘和機器學習的重要預處理步驟，直接影響到機器學習的效果。在分類算法中，對訓練樣本集進行離散化具有兩重意義：一方面可以有效降低學習算法的復雜度，加快學習速度，提高學習精度；另一方面可以簡化、歸納獲得的知識，提高分類結果的可理解性。很多離散化方法的提出，主要分為以下兩種類型[1]：(1)自底向上和自頂向下的離散化方法。自底向上離散化方法是以每個屬性值為一個區間，然后迭代地合并相鄰區間；自頂向下離散化方法是把整個屬性的值域視為一個區間，遞歸地向該區間中添加斷點。(2)有監督和無監督離散化方法。有監督方法使用決策類信息進行離散化，如Ent-MDLP[2]、CAIM[3]和Chi2-based[4-5]等算法。Ent-MDLP使用熵的理論來評價候選斷點，選擇使得整體熵值最小的斷點作為最終斷點，并且通過最小描述長度原則來確定離散區間數；CAIM是一種自頂向下離散化方法，該方法依據類與屬性間的關聯度，提出一種啟發式離散化標準，計算當前狀態的標準值來判別當前斷點是否應該被加入斷點集合中。自底向上的Chi2-based離散化算法使用卡方統計來確定當前相鄰區間是否被合并，并采用顯著性水平值逐漸降低的方法檢驗系統的不一致率，確定離散化進程是否終止。然而，Chi2-based方法在衡量區間差異時沒有考慮區間大小和區間類別數對離散化結果的影響，可能會導致學習精度的降低；而無監督離散化方法則不考慮類的信息。傳統的無監督離散化方法包括EWD(Equal Width Discretization)和EFD(Equal Frequency Discretization)，這兩個算法實現簡單且計算消耗低，但結果往往難以滿足預計的要求。
本文提出一種基于概率與信息熵理論的實值屬性離散化方法PIE(Probability and Information Entropy)，綜合考慮了各對合并區間之間的差異性，利用信息熵衡量相鄰區間的相似性，同時考慮離散區間大小和區間類別數對分類能力的影響，并通過概率的方法得到了這兩個因素的衡量指標。實驗結果表明，PIE顯著地提高了See5/C5.0分類器分類學習精度，并在乳腺腫瘤診斷中得到了很好的應用。
1 PIE離散化
　離散化問題描述如下：對于m個連續屬性的數據集，樣本點個數為N，決策類別數為S，數據集中任意一個連續屬性為a，可以將連續屬性的值域離散成I個區間：
     P：{[d0，d1]，[d1，d2]，…，[dI-1，dI]}
    其中，d0是連續屬性A的最小值，dI是a的最大值，屬性a的值按升序進行排列，{d0，d1，d2，…，dI-1，dI}為離散過程中的斷點集合。屬性a的每個值都可以劃分到離散的I個區間的某一個區間中。

　對于一個連續屬性的各對相鄰區間，它們對應的類分布是不同的，類分布最相似的區間應該先被合并。事實上，從信息通信的角度考慮，區間在合并前與合并后需要轉換信息量，轉換的信息量越小，說明兩個區間對應的類分布越相似，它們應該被合并，反之亦然。由于相鄰兩區間的樣本數為M，需要轉換M次，因此，用M×[H(I)-H(I1，I2)]作為區間相似性的衡量標準。
　為了更好地衡量各對合并區間之間的差異性，僅考慮類分布的相似性是不夠的，還需要考慮離散區間大小和區間中類別數對離散化結果的影響，進而會影響到分類器的學習精度。通過概率的方法可獲得兩個因素的衡量標準，對于任意連續屬性，每一對相鄰區間(I1和I2)的樣本數是不同的，可視為變量{Mi}，則p({Mi+})代表兩個區間樣本數的集合可能性，即：

2 仿真結果
2.1 UCI數據集實驗結果
　為了評價PIE的性能，采用了UCI機器學習數據庫[7]中的10個數據集，見表1所示。該數據集是數據挖掘等實驗常用的數據，其中包括兩個大的數據集Page-blocks和Letter。PIE方法與以下幾種方法進行了比較：傳統的無監督離散化方法EFD；基于熵的最小描述長度離散化方法Ent-MDLP；流行的自頂向下離散化方法CAIM；經典的自底向上離散化方法Chi2。
　10個數據集分別采用上面的離散化方法進行離散數據，使用Weka數據挖掘工具進行實驗，采用See5分類器對離散后的數據進行分類預測。采用10折交叉驗證的方法，將數據集分成10等份，分別將其中9份作為訓練集，剩下1份作為測試集，重復10次取平均值，對平均學習精度統計進行對比，見表2所示。

　從表2中可以看出，除了Heart和Vowel數據集，本文提出的PIE離散化方法的See5平均學習精度均有所上升，這正是離散化方法期望得到的結果，由此充分顯示了PIE算法的優勢。而對于CAIM、Ent-MDLP和EFD三種離散化方法均則未引入不一致衡量標準，即它們沒有對數據的有效性進行控制，在離散化過程中丟失了大量的信息，導致分類預測的精度比Chi2和PIE方法平均低很多。
2.2 PIE在乳腺腫瘤診斷上的效用
　乳腺腫瘤診斷的實驗數據來自于UCI機器學習數據庫中的Breast Cancer Wisconsin數據集，將Breast Cancer Wisconsin刪掉屬性值不全的病例樣本，剩下683個病例樣本，病理檢測有9項(Clump Thickness、Uniformity of Cell Size、Uniformity of Cell Shape、 Marginal Adhension、Single Epithelial Cell Size、Bare Nuclei、Bland Chromatin、Normal Nucleoli、Mitoses)，即9個屬性，每個屬性取值范圍[1，10]，病情狀況分為兩類：一類表示腫瘤為惡性，另一類表示腫瘤為良性。這樣，每個樣本有9個連續條件屬性，1個決策屬性，選取樣本的80%作為訓練集，20%作為測試集。
　將Breast Cancer Wisconsin用本文所提出的PIE算法進行離散化，然后分別使用See5和PIE+See5對離散前和離散后的數據進行分類預測，結果見表3。

　從表3中可以明顯看出，未經過離散化處理的BCW病例數據集進行See5分類預測的測試準確度為92.55%，而PIE+See5方法的測試準確度為99.27%，比未被離散化的進行See5預測精度高出6.72%，相當于每1 000個患者中就多出約67個患者可以被準確地診斷出腫瘤為良性或是惡性，對患者及時治療有很大幫助。
　在BCW數據被離散化后，其病理指標被刪去了三項：Uniformity of Cell Shape(細胞形狀均勻度)、Bland Chromatin(平淡的染色質)、Mitoses，可以只考慮其他六項，簡化了信息系統，減輕了醫生的工作量。另外，利用PIE+See5方法離散后不同樣本占樣本總數比例只有44.36%，刪除冗余的病例樣本后，只剩余了303個病例樣本，從而使原來的病例樣本空間在橫向和縱向上都得到了降維，可以得到更加穩固的訓練模型，在醫學數據挖掘中具有良好的發展前景。
　連續屬性離散化方法的研究對數據挖掘與機器學習領域的研究與應用具有重要的作用。本文提出一種基于概率與信息熵理論的實值屬性離散化方法，綜合考慮了各對合并區間之間的差異性，能夠更合理準確地離散化，該方法為該領域提供了新思路，具有一定應用價值意義。
參考文獻
[1] DOUGHERTY J， KOHAVI R， SAHAMI M. Supervised and unsupervised discretization of continuous feature[C]. Proceedings of the 12th International Conference of Machine learning. San Francisco： Morgan Kaufmann， 1995.
[2] FAYYAD U， IRANI K. Multi-interval discretization of continuous-valued attributes for classification learning[C]. Proceedings of the 13th International Joint Conference on Artificial Intelligence. San Mateo， CA： Morgan Kaufmann， 1993.
[3] KURGAN L A， CIOS K J. CAIM discretization algorithm[J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，2004， 16(2)： 145–153.
[4] LIU H， SETIONO R. Feature selection via discretization[J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，1997， 9(4)： 642-645.
[5] CHAO T S， JYH H H. An extended chi2 algorithm for discretization of real value attributes[J]. IEEE Transactions Knowledge and Data Engineering， 2005，17(3)：437-441.
[6] PAWLAK Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Sciences， 1982，１１(5)：341-356.
[7] HETTICH S， BAY S D. The UCI KDD Archive [DB/OL]. http：//kdd.ics.uci.edu/， 1999.