0 引 言
IIR濾波器不易做成線性相位，FIR濾波器只要滿足一定條件就可做成線性相位，而現(xiàn)代圖像、語聲、數(shù)據(jù)通信對線性相位的要求是普遍的，因此具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器得到廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。
FIR濾波器有傳統(tǒng)的設(shè)計方法，如窗函數(shù)法、頻率采樣法、切比雪夫逼近法等；之后也有一些優(yōu)化設(shè)計算法，如Remez交換算法、線性規(guī)劃算法、加權(quán)最小二乘法、遞推最小二乘法。雖然這些算法在一定程度上改善了傳統(tǒng)方法的局限性，但這些方法自身也存在著一些不足。之后，曾喆昭等人提出了一種基于余弦基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法，給出了該算法的收斂條件，并將其應(yīng)用到高階多通帶FIR濾波器中，用實例說明了該算法在精度、計算速度等方面的優(yōu)越性。基于這種算法，有人分別將其在數(shù)域和維數(shù)上做出了推廣。
本文提出的方法，是基于余弦基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計方法的一種改良，其基本思想首先是使設(shè)計頻響與理想頻響之間的全局誤差在通帶和阻帶范圍最小，其次再使用模擬退火算法，以最小阻帶衰減為評價函數(shù)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，使最后的結(jié)果朝著最優(yōu)值靠近。由該方法設(shè)計的濾波器，通帶和阻帶范圍無過沖、無波動，且阻帶的衰減高，初始條件隨機給定，算法速度快，因而是一種有效的設(shè)計方法。
1 I型線性相位FIR濾波器的幅頻特性
若脈沖響應(yīng)h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N-1-n)，N為脈沖響應(yīng)h(n)的長度，并且N為奇數(shù)，則有：
容易看出，此式是由(N+1)／2個余弦項迭加而成的函數(shù)，而此函數(shù)在ω=0，π，2π處均不等于零，因此I型線性相位FIR濾波器既可以用作低通濾波器(在ω=0處，幅度函數(shù)不為零)，也可用作高通濾波器(在ω=π處，幅度函數(shù)不為零)，而且也可以用作帶通和帶阻濾波器，是應(yīng)用最為廣泛的。
2 余弦基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)方面，如圖1所示，類似于BP網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)：
輸入層和輸出層都只有一個節(jié)點，隱含層有M個節(jié)點，且各節(jié)點對應(yīng)的激勵函數(shù)如下：
式中：M=（N-1）/2
再令輸入層到隱含層的全值都為1，而隱含層到輸出層的權(quán)值ω0～ωM分別取為a0～aM，于是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入／輸出關(guān)系就恰好為濾波器的幅度函數(shù)
網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法方面，也可以采用類似BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法。
首先定義權(quán)值矩陣：
設(shè)置性能指標(biāo)：
為訓(xùn)練樣本數(shù)。
于是權(quán)值修正的公式為：
式中：α為學(xué)習(xí)速率。
迭代的終止條件可設(shè)為性能指標(biāo)J滿足一定條件，而關(guān)于學(xué)習(xí)速率α的選取會直接影響到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。目前，已經(jīng)有人提出了其適當(dāng)?shù)倪x取范圍，例如羅玉雄等人已經(jīng)證明，當(dāng)滿足0<α<(2／|| C ||2)時(這里||·||2表示的是歐氏范數(shù)的平方)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是穩(wěn)定的；曾喆昭等人也提出并證明了當(dāng)滿足0<α<(4／N)時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是穩(wěn)定的。
3 模擬退火算法
由于以上的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法從本質(zhì)上來說，還是一種BP算法，所以不可避免地會存在BP算法的缺陷，初始值的選取會影響最終結(jié)果，且容易陷入局部極小值。
模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)(是算法迭代的起點)無關(guān)；模擬退火算法具有漸近收斂性，在理論上已得到嚴(yán)格證明，當(dāng)初溫充分高，降溫足夠慢，每一溫度下抽樣足夠長，最終溫度趨于零時，算法最終以概率1收斂到全局最優(yōu)解。模擬退火算法通過概率判斷來接受新狀態(tài)是算法在局部極小解處有機會跳出并最終趨于全局最優(yōu)的根本原因。于是將模擬退火算法加到前面的算法中去，就可以很好地彌補上述算法的不足。
模擬退火算法的步驟如下：
(1)由一個產(chǎn)生函數(shù)從當(dāng)前解S產(chǎn)生一個位于解空間的新解S'。
(2)計算與新解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。這里以最小阻帶衰減為評價函數(shù)C(S)，這個函數(shù)可以由所得解S輕易地求出，于是目標(biāo)函數(shù)差△t=C(S')-C(S)；
(3)判斷新解是否被接受，其依據(jù)是一個接受準(zhǔn)則，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropolis準(zhǔn)則。若△t≥0，則接受S'作為新的當(dāng)前解S；否則，以概率exp(-△t／T)接受S'作為新的當(dāng)前解S。
(4)當(dāng)新解被確定接受時，用新解代替當(dāng)前解，同時修正評價函數(shù)。此時，當(dāng)前解實現(xiàn)了一次迭代，可在此基礎(chǔ)上開始下一輪試驗；當(dāng)新解被判定為舍棄時，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗。
將模擬退火融入原算法，其實主要是用原算法來實現(xiàn)模擬退火中第(1)步的產(chǎn)生解S，于是可得到總的算法：
(1)初始化，初始溫度T(充分大)，初始解狀態(tài)S(是算法迭代的起點)，每個T值的迭代次數(shù)L，初始權(quán)值W，性能指標(biāo)J，學(xué)習(xí)速率α，并且設(shè)定目標(biāo)向量(理想幅頻響應(yīng)Hg(ωk))；
(2)對k=1，2，…，L做第(3)～(8)步驟；
(3)計算誤差E(k)，使用權(quán)值修正公式：W=W+αE(k)C(Ωk)修正權(quán)值；
(4)滿足性能指標(biāo)J轉(zhuǎn)步驟(5)，否則轉(zhuǎn)步驟(3)；
(5)由步驟(4)產(chǎn)生的W得出新解S'；
(6)以濾波器的最小阻帶衰減為評價函數(shù)，計算△t，其中△t=C(S)-C(S)；
(7)若△t>0，則接受S'作為新的當(dāng)前解，否則以概率exp(-△t／T)接受S'作為新的當(dāng)前解；
(8)如果滿足終止條件，則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，終止條件通常取為連續(xù)若干個新解都沒有被接受；
(9)減小T，轉(zhuǎn)步驟(2)。當(dāng)T→0時，終止算法。
4 仿真實例
例1：設(shè)計一線性相位高通FIR濾波器，其理想幅頻特性為：
對Ω在[0，π]范圍內(nèi)均勻取樣，共取(N+1)／2＝60個樣點，即Ωk=πk／59(k=0，1，2，…，59)，為了使通帶和阻帶內(nèi)無過沖、無波動，在過渡帶內(nèi)取兩個點0．78和0．25，于是實際的幅頻取樣點為Hd(k)=[zeros(1，29)，0．25，0．78，ones(1，29)]；網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)取為1×60×1，性能指標(biāo)設(shè)置為J=10-8。
經(jīng)過計算機仿真得到如圖2和圖3的仿真圖。
例2：設(shè)計一線性相位帶阻FIR濾波器，其理想幅頻特性為：
與例1類似，對Ω在[0，π]范圍內(nèi)均勻取樣，共取(N+1)／2＝60個樣點，即Ωk=πk／59，(k=0，1，2，…，59)，同樣地，為了使通帶和阻帶內(nèi)無過沖，無波動，在過渡帶內(nèi)取兩個點0．78和0．25，于是實際的幅頻取樣點為Hd(k)=[ones(1，17)，0．78，0．25，zeros(1，16)，0．25，0．78，ones(1，23)]；網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)取為1×60×1，性能指標(biāo)設(shè)置為J=10-8。
經(jīng)過計算機仿真得到如圖4和圖5的仿真圖。
通過仿真，可以和與文獻(xiàn)[2]中的算法相比較。在這里以例1中的情形為例，兩種方法各運行10次，取最后得到的最小阻帶衰減(單位：dB)和程序的運行時間(單位：s)來比較：
文獻(xiàn)[2]中的算法：
兩者相比較可得，雖然在運行時間上本文的算法遜于文獻(xiàn)[2]中的算法，但這個運行時間本身也僅0．5 s左右，是可以接受的。在性能上本文的算法得出的結(jié)果幾乎都在-190 dB左右，而文獻(xiàn)E23中算法得出的結(jié)果則在-77～-93 dB之間波動，因此可以說用本文的算法可以得到更好、更穩(wěn)定的最小阻帶衰減。
5 結(jié) 語
本文提出了一種基于經(jīng)優(yōu)化算法優(yōu)化過的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計FIR濾波器的方法。這一方法的特點是先用類似BP網(wǎng)絡(luò)的方法調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，再用模擬退火技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化，獲取更好的FIR濾波器的脈沖響應(yīng)，從而完成濾波器的設(shè)計。由文中給出的兩個范例可以看出，設(shè)計濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶與阻帶范圍均無過沖現(xiàn)象，衰耗特性好，阻帶最小衰減在190 dB以上，通帶沒有衰減。而且這種方法可以輕松地實現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻FIR濾波器的設(shè)計，程序運行時間均在0．5 s左右，是一種十分有效的設(shè)計方法。當(dāng)然此算法也有改進(jìn)的余地，比如在算法中過渡帶的選取都是0．25和0．78。而事實上，對于不同的幅頻特性，過渡點的選取可影響到最終設(shè)計的FIR濾波器的性能。通過優(yōu)化過渡點的位置，可以使FIR濾波器的幅頻特性在過渡點處更為平滑，并且有更好的最好阻帶衰減。比如在文獻(xiàn)[9]中，就有用遺傳算法優(yōu)化過渡點的方法。