0 引言

　　實際的工程測量測試中，工程信號在采集和傳輸過程中，總會因外界的干擾引入噪聲，為了準確地獲得有用信號，降噪是信號分析前必須經過的預處理環節。傳統降噪方法的不足在于使信號變換后的熵增高，無法刻畫信號的非平穩特性并且無法得到信號的相關性[1]。而小波變換在時域和頻域同時具有良好的局部化性質，并且小波變換具有眾多優良的特性，如多分辨率特性、低熵性、去相關性和選基靈活性等。這些特性很好地克服了傳統方法的不足，使得小波變換適用于信號的降噪處理。因此利用小波變換進行降噪，已經成為近幾年研究的熱點。

　　運用小波變換處理噪聲的方法主要分為3類：MATLAB提出的模極大值處理算法[2]；XU提出的空域相關降噪算法[3]；DONOHO提出的閾值降噪算法[4]。其中，以閾值降噪算法最為常用。閾值降噪算法中，通過對分解后的小波系數進行閾值處理以達到降噪的目的。最常用的閾值函數是由DONOHO在1995年提出的硬閾值函數和軟閾值函數，但這兩種函數也存在不足之處。采用硬閾值函數時，由于硬閾值函數的不連續，導致重構信號可能出現局部震蕩；采用軟閾值函數時，與真實小波系數之間存在恒定的偏差，導致重構后信號的精度下降[5]。針對軟、硬閾值函數存在的缺點和不足，本文提出一種新的閾值函數。新閾值函數既保證了閾值函數的連續性，又能避免軟閾值固定偏差的缺點。并通過MATLAB仿真分析驗證了改進的小波閾值降噪算法優于傳統閾值算法。

1 小波閾值降噪原理

　　假設一維離散含噪信號由式(1)表示：

　　其中，X(k)是含噪信號；S(k)是原始標準信號；E(k)是疊加的高斯白噪聲，其服從N(0，σ2)分布。

　　小波變換后，有用信號的能量集中于幅值較大的小波系數，而噪聲能量則分布在整個小波域中[6]。因此，較大的小波系數是由有用信號引起的，較小的小波系數則代表噪聲。基于小波系數的特征，DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了閾值降噪算法。首先確定一個閾值，即選擇一個合適的數，當小波分解系數小于閾值時，認為這部分系數主要是由噪聲引起的，予以舍棄；當系數大于閾值時，認為這是由信號引起的小波分解系數，就把這一部分進行閾值處理，然后用閾值處理后的量化系數進行重構，即為降噪后的信號。小波閾值降噪的基本步驟如圖1所示。

2 改進閾值算法

　　閾值的確定直接影響著小波閾值降噪的效果。如果閾值取得太小，噪聲依然存在；如果閾值取得太大，那么有用信號的重要信息也可能被濾除。最常選用的通用閾值可用式(2)表示：

　　其中，N為信號的長度，σ為噪聲的均方差估計值，由式(3)給出：

　　因為通用閾值有過扼殺有用信號的風險，文獻[6]提出一種基于層間相關性的閾值選取方法。本文在此基礎上結合分層閾值的思想對該閾值算法進行改進，如式(4)所示：

　　其中，r為常數，Tj，n為小波分解第j層位置n處的閾值，λj為第j層的閾值，其表達式如式(5)所示：

　　式中，Wj，k為第j層上的小波系數，j為分解層數。

　　K(n)為定義的一個參數，用來表征小波系數的層間相關性，其定義如式(6)所示：

　　式中，W(:，n)表示點n處的所有小波系數。

　　當K(n)∈[0，r)，點n處的小波系數相關性較強，點n處可能是一個信號點；當K(n)∈[r，+∞)，點n處的相關性較差，該點可能是由噪聲引起的。由式(4)可知，新閾值方法通過比較小波系數層間相關性，對不同點n的閾值進行修正。當K(n)∈[0，0.5r)時，小波系數間的相關性很大，該點非常有可能是純信號點，對閾值進行收縮，取為0.7λj；當K(n)∈[0.5r，0.8r)時，小波系數的相關性比較大，該點有可能是信號點，該點的閾值取為0.8λj；當K(n)∈[0.8r，r)時，相關性較大，該點依舊可能是信號點，減小閾值收縮程度，取為0.9λj；當K(n)∈[r，+∞)時，認為小波系數的相關性較小，該點幾乎不可能是純信號點，將閾值取為λj。

　　K(n)在計算時，要求不同層上的小波分解系數的數目一致，因此需要采用平穩小波變換(SWT)。r是測量小波系數相關性的一個重要參數，取值太小，可能會過扼殺有用信號，取值過大，可能會保留較多的噪聲信息。通過相關實驗，r取為0.5~1.5之間時，降噪效果比較好。本文中，r取為1。

3 構造新閾值函數

　　傳統的閾值函數是由DONOHO提出的軟閾值函數和硬閾值函數，軟閾值函數定義如式(7)所示，硬閾值函數定義如式(8)所示。

　　硬閾值函數在小波域內存在間斷點，在重構信號時會出現局部震蕩現象；軟閾值函數雖然在小波域內連續，但是閾值處理后的小波系數與真實小波系數存在恒定偏差，會造成信號高頻有用信息的丟失。

　　本文結合文獻[8]與文獻[9]中的方法，構造了一個新的閾值函數，如式(9)所示：

　　其中，且α為正數，β為正數。

　　由式(9)可知，當|Wj，k|→±λ時，，即新閾值函數在Wj，k=±λ處是連續的，克服了硬閾值函數不連續的缺陷，重構信號不會有震蕩產生；當Wj，k→±∞時，，即當小波系數足夠大時，新閾值函數等同于硬閾值函數，從而克服了軟閾值函數之間具有恒定偏的問題；同時新閾值函數具有高階可導性。從表達式中可以看出，當α→0且β→0時，新閾值函數即為軟閾值函數；當α→+∞時，u→1，新閾值函數即為硬閾值函數；適當選取α和β的值，新閾值函數可以在硬閾值函數與軟閾值函數之間進行調整，靈活性更強。硬、軟閾值函數的圖形如圖2(a)、圖2(b)所示，選取不同的α和β的新閾值函數如圖2(c)、圖2(d)所示。

4 仿真分析

　　為了驗證本文降噪算法的有效性，用MATLAB對其進行仿真試驗。選用Matlab自帶的Heavy sine 信號，對其加入一定的高斯白噪聲，并用軟閾值降噪算法、硬閾值降噪算法、本文新閾值降噪算法分別對其做降噪處理，其結果如圖3所示。其中，選用sym4小波基，分解層數選為3層，新閾值函數中將α取為0.1，β取為7。

　　從視覺上，降噪效果很難評價，為了量化地評價降噪性能，采用信噪比和均方根誤差[10]作為評價指標。信噪比指原始信號能量與噪聲能量的比值，記為SNR，其值越大，信號中噪聲含量越少，降噪效果越好；均方根誤差指重構信號與原始信號的均方誤差，記為RMSE，均方根誤差體現了原始信號和降噪之后的信號間的差異，均方根誤差越小，表示重構信號與原始信號的差異越小，即降噪效果越好。其表達式分別如式(10)和式(11)所示。

　　式中，x(i)為原始無噪聲信號；為降噪后的信號。

　　各種降噪方法的性能指標如表1所示。從表中可以看出，改進的閾值降噪算法相比于其他算法，降噪后信噪比最大，均方根誤差最小，所以改進的閾值降噪算法優于其他算法。

5 總結

　　本文分析了小波閾值降噪的原理，針對軟、硬閾值函數的缺點，結合相關文獻，提出了一種新的閾值函數，該閾值函數可以通過調整α和β參數來調整閾值函數，進而獲得最佳的降噪效果。本文基于改進的新閾值函數，并結合改進的閾值確定方法，提出了一種新的閾值降噪算法。利用MATLAB進行仿真分析，實驗結果表明，本閾值降噪算法降噪性能優于其他常用算法。

　　參考文獻

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