0 引言

　　實(shí)際的工程測量測試中，工程信號在采集和傳輸過程中，總會因外界的干擾引入噪聲，為了準(zhǔn)確地獲得有用信號，降噪是信號分析前必須經(jīng)過的預(yù)處理環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)降噪方法的不足在于使信號變換后的熵增高，無法刻畫信號的非平穩(wěn)特性并且無法得到信號的相關(guān)性[1]。而小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，并且小波變換具有眾多優(yōu)良的特性，如多分辨率特性、低熵性、去相關(guān)性和選基靈活性等。這些特性很好地克服了傳統(tǒng)方法的不足，使得小波變換適用于信號的降噪處理。因此利用小波變換進(jìn)行降噪，已經(jīng)成為近幾年研究的熱點(diǎn)。

　　運(yùn)用小波變換處理噪聲的方法主要分為3類：MATLAB提出的模極大值處理算法[2]；XU提出的空域相關(guān)降噪算法[3]；DONOHO提出的閾值降噪算法[4]。其中，以閾值降噪算法最為常用。閾值降噪算法中，通過對分解后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理以達(dá)到降噪的目的。最常用的閾值函數(shù)是由DONOHO在1995年提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，但這兩種函數(shù)也存在不足之處。采用硬閾值函數(shù)時(shí)，由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù)，導(dǎo)致重構(gòu)信號可能出現(xiàn)局部震蕩；采用軟閾值函數(shù)時(shí)，與真實(shí)小波系數(shù)之間存在恒定的偏差，導(dǎo)致重構(gòu)后信號的精度下降[5]。針對軟、硬閾值函數(shù)存在的缺點(diǎn)和不足，本文提出一種新的閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)既保證了閾值函數(shù)的連續(xù)性，又能避免軟閾值固定偏差的缺點(diǎn)。并通過MATLAB仿真分析驗(yàn)證了改進(jìn)的小波閾值降噪算法優(yōu)于傳統(tǒng)閾值算法。

1 小波閾值降噪原理

　　假設(shè)一維離散含噪信號由式(1)表示：

　　其中，X(k)是含噪信號；S(k)是原始標(biāo)準(zhǔn)信號；E(k)是疊加的高斯白噪聲，其服從N(0，σ2)分布。

　　小波變換后，有用信號的能量集中于幅值較大的小波系數(shù)，而噪聲能量則分布在整個(gè)小波域中[6]。因此，較大的小波系數(shù)是由有用信號引起的，較小的小波系數(shù)則代表噪聲。基于小波系數(shù)的特征，DONOHO和JOHNSTONE[7]提出了閾值降噪算法。首先確定一個(gè)閾值，即選擇一個(gè)合適的數(shù)，當(dāng)小波分解系數(shù)小于閾值時(shí)，認(rèn)為這部分系數(shù)主要是由噪聲引起的，予以舍棄；當(dāng)系數(shù)大于閾值時(shí)，認(rèn)為這是由信號引起的小波分解系數(shù)，就把這一部分進(jìn)行閾值處理，然后用閾值處理后的量化系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，即為降噪后的信號。小波閾值降噪的基本步驟如圖1所示。

2 改進(jìn)閾值算法

　　閾值的確定直接影響著小波閾值降噪的效果。如果閾值取得太小，噪聲依然存在；如果閾值取得太大，那么有用信號的重要信息也可能被濾除。最常選用的通用閾值可用式(2)表示：

　　其中，N為信號的長度，σ為噪聲的均方差估計(jì)值，由式(3)給出：

　　因?yàn)橥ㄓ瞄撝涤羞^扼殺有用信號的風(fēng)險(xiǎn)，文獻(xiàn)[6]提出一種基于層間相關(guān)性的閾值選取方法。本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合分層閾值的思想對該閾值算法進(jìn)行改進(jìn)，如式(4)所示：

　　其中，r為常數(shù)，Tj，n為小波分解第j層位置n處的閾值，λj為第j層的閾值，其表達(dá)式如式(5)所示：

　　式中，Wj，k為第j層上的小波系數(shù)，j為分解層數(shù)。

　　K(n)為定義的一個(gè)參數(shù)，用來表征小波系數(shù)的層間相關(guān)性，其定義如式(6)所示：

　　式中，W(:，n)表示點(diǎn)n處的所有小波系數(shù)。

　　當(dāng)K(n)∈[0，r)，點(diǎn)n處的小波系數(shù)相關(guān)性較強(qiáng)，點(diǎn)n處可能是一個(gè)信號點(diǎn)；當(dāng)K(n)∈[r，+∞)，點(diǎn)n處的相關(guān)性較差，該點(diǎn)可能是由噪聲引起的。由式(4)可知，新閾值方法通過比較小波系數(shù)層間相關(guān)性，對不同點(diǎn)n的閾值進(jìn)行修正。當(dāng)K(n)∈[0，0.5r)時(shí)，小波系數(shù)間的相關(guān)性很大，該點(diǎn)非常有可能是純信號點(diǎn)，對閾值進(jìn)行收縮，取為0.7λj；當(dāng)K(n)∈[0.5r，0.8r)時(shí)，小波系數(shù)的相關(guān)性比較大，該點(diǎn)有可能是信號點(diǎn)，該點(diǎn)的閾值取為0.8λj；當(dāng)K(n)∈[0.8r，r)時(shí)，相關(guān)性較大，該點(diǎn)依舊可能是信號點(diǎn)，減小閾值收縮程度，取為0.9λj；當(dāng)K(n)∈[r，+∞)時(shí)，認(rèn)為小波系數(shù)的相關(guān)性較小，該點(diǎn)幾乎不可能是純信號點(diǎn)，將閾值取為λj。

　　K(n)在計(jì)算時(shí)，要求不同層上的小波分解系數(shù)的數(shù)目一致，因此需要采用平穩(wěn)小波變換(SWT)。r是測量小波系數(shù)相關(guān)性的一個(gè)重要參數(shù)，取值太小，可能會過扼殺有用信號，取值過大，可能會保留較多的噪聲信息。通過相關(guān)實(shí)驗(yàn)，r取為0.5~1.5之間時(shí)，降噪效果比較好。本文中，r取為1。

3 構(gòu)造新閾值函數(shù)

　　傳統(tǒng)的閾值函數(shù)是由DONOHO提出的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)定義如式(7)所示，硬閾值函數(shù)定義如式(8)所示。

　　硬閾值函數(shù)在小波域內(nèi)存在間斷點(diǎn)，在重構(gòu)信號時(shí)會出現(xiàn)局部震蕩現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)連續(xù)，但是閾值處理后的小波系數(shù)與真實(shí)小波系數(shù)存在恒定偏差，會造成信號高頻有用信息的丟失。

　　本文結(jié)合文獻(xiàn)[8]與文獻(xiàn)[9]中的方法，構(gòu)造了一個(gè)新的閾值函數(shù)，如式(9)所示：

　　其中，且α為正數(shù)，β為正數(shù)。

　　由式(9)可知，當(dāng)|Wj，k|→±λ時(shí)，，即新閾值函數(shù)在Wj，k=±λ處是連續(xù)的，克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺陷，重構(gòu)信號不會有震蕩產(chǎn)生；當(dāng)Wj，k→±∞時(shí)，，即當(dāng)小波系數(shù)足夠大時(shí)，新閾值函數(shù)等同于硬閾值函數(shù)，從而克服了軟閾值函數(shù)之間具有恒定偏的問題；同時(shí)新閾值函數(shù)具有高階可導(dǎo)性。從表達(dá)式中可以看出，當(dāng)α→0且β→0時(shí)，新閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù)；當(dāng)α→+∞時(shí)，u→1，新閾值函數(shù)即為硬閾值函數(shù)；適當(dāng)選取α和β的值，新閾值函數(shù)可以在硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)之間進(jìn)行調(diào)整，靈活性更強(qiáng)。硬、軟閾值函數(shù)的圖形如圖2(a)、圖2(b)所示，選取不同的α和β的新閾值函數(shù)如圖2(c)、圖2(d)所示。

4 仿真分析

　　為了驗(yàn)證本文降噪算法的有效性，用MATLAB對其進(jìn)行仿真試驗(yàn)。選用Matlab自帶的Heavy sine 信號，對其加入一定的高斯白噪聲，并用軟閾值降噪算法、硬閾值降噪算法、本文新閾值降噪算法分別對其做降噪處理，其結(jié)果如圖3所示。其中，選用sym4小波基，分解層數(shù)選為3層，新閾值函數(shù)中將α取為0.1，β取為7。

　　從視覺上，降噪效果很難評價(jià)，為了量化地評價(jià)降噪性能，采用信噪比和均方根誤差[10]作為評價(jià)指標(biāo)。信噪比指原始信號能量與噪聲能量的比值，記為SNR，其值越大，信號中噪聲含量越少，降噪效果越好；均方根誤差指重構(gòu)信號與原始信號的均方誤差，記為RMSE，均方根誤差體現(xiàn)了原始信號和降噪之后的信號間的差異，均方根誤差越小，表示重構(gòu)信號與原始信號的差異越小，即降噪效果越好。其表達(dá)式分別如式(10)和式(11)所示。

　　式中，x(i)為原始無噪聲信號；為降噪后的信號。

　　各種降噪方法的性能指標(biāo)如表1所示。從表中可以看出，改進(jìn)的閾值降噪算法相比于其他算法，降噪后信噪比最大，均方根誤差最小，所以改進(jìn)的閾值降噪算法優(yōu)于其他算法。

5 總結(jié)

　　本文分析了小波閾值降噪的原理，針對軟、硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)，提出了一種新的閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)可以通過調(diào)整α和β參數(shù)來調(diào)整閾值函數(shù)，進(jìn)而獲得最佳的降噪效果。本文基于改進(jìn)的新閾值函數(shù)，并結(jié)合改進(jìn)的閾值確定方法，提出了一種新的閾值降噪算法。利用MATLAB進(jìn)行仿真分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本閾值降噪算法降噪性能優(yōu)于其他常用算法。

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