摘 要： 基于高階" title="高階">高階統(tǒng)計量（HOS）的分析方法，針對多輸入多輸出的MIMO系統(tǒng)中輸入多于輸出的情況進行了探討，在對時域中其盲辨識原理進行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于頻域" title="頻域">頻域分析的思路，以3×2 MIMO系統(tǒng)為例，基于互多譜累積量" title="累積量">累積量實現(xiàn)了MIMO系統(tǒng)的盲辨識，并對其實現(xiàn)過程進行了總結(jié)和仿真。
關(guān)鍵詞： 高階統(tǒng)計量 MIMO 盲辨識? 互多譜
系統(tǒng)盲辨識的目標是通過n個系統(tǒng)輸出來辨識系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(z)，通過H(z)估計恢復出系統(tǒng)的r個輸入。MIMO系統(tǒng)的盲辨識有著很重要的應用，因為許多問題都可以歸結(jié)為MIMO盲辨識問題。MIMO系統(tǒng)的辨識是對SIMO方法的擴展。本文提出一種基于頻域分析的方法來辨識n×r的MIMO系統(tǒng)，其輸入信號" title="輸入信號">輸入信號為獨立同分布的量。通常情況下討論的MIMO問題都是輸出信號的個數(shù)n≥r[1]。這種情況下一般經(jīng)過解卷積來恢復輸入信號。在本文中考慮輸入多于輸出的情況，也就是說n
假定MIMO系統(tǒng)模型為：
x=Hs （1）
其中x=[x1(t)x2(t)]T 為二維輸出矢量信號，s=[s1(t)s2(t)s3(t)]T為三維輸入信號矢量，si(t)為零均值獨立同分布非高斯白噪聲，H為2×3維瞬態(tài)矩陣。為方便起見，定義以下累積量[2]：
∧為對角陣，ejΦ用來替代每一行的模糊相位。P為行交換矩陣，
為混合矩陣的估計值，可以通過（9）式得到。這樣即可通過（10）式得到H，從而由（1）式估計出輸入信號。
2 基于頻域?qū)崿F(xiàn)的MIMO系統(tǒng)的盲辨識
為了更進一步方便對MIMO系統(tǒng)進行盲辨識，將（1）式進行傅立葉變換得到（11）式：
X(ω)=H(ω)S(ω) (11)
可以通過估計xi(ω1)、xj(ω2)……的互累計量譜得到輸入信號的信息，但是根據(jù)Brillinger定理[3]可以得到式（12）：
cum{xi(ω1),xj(ω2),xk(ω3),xl(ω4)}=0,
ω1+ω2+ω3+ω4≠2πK ? (12)
其中K為整數(shù)，這樣，C40和C30就會為0，就很難估計輸入信號的值。因此在這里盡量避開X(ω),利用類似于（6）、（7）、（8）式的方法，定義一組基于系統(tǒng)輸出的互多譜的張量，為便于分析先從時域入手定義輸出信號的三種不同類型的四階互累計量：
在（16）和（17）中如果令ω1=ω2=ω3=ω則可得到與C31對應的頻域的張量表示形式：
對應于實脈沖情況，可用（22）式的兩個線性方程構(gòu)成的方程組來實現(xiàn)對多項式G(ω)的估計。
同樣的方法，可以通過（18）式得到其對應的張量如（23）式：
下面依次對式(24)中的參量進行估算：
(1) 估算∧(ω)：
對∧(ω)的估算可以借助功率譜" title="功率譜">功率譜，假定用PX(ω)來表示輸出信號的功率譜，則：
摘 要： 基于高階統(tǒng)計量（HOS）的分析方法，針對多輸入多輸出的MIMO系統(tǒng)中輸入多于輸出的情況進行了探討，在對時域中其盲辨識原理進行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于頻域分析的思路，以3×2 MIMO系統(tǒng)為例，基于互多譜累積量實現(xiàn)了MIMO系統(tǒng)的盲辨識，并對其實現(xiàn)過程進行了總結(jié)和仿真。
關(guān)鍵詞： 高階統(tǒng)計量 MIMO 盲辨識 互多譜
系統(tǒng)盲辨識的目標是通過n個系統(tǒng)輸出來辨識系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(z)，通過H(z)估計恢復出系統(tǒng)的r個輸入。MIMO系統(tǒng)的盲辨識有著很重要的應用，因為許多問題都可以歸結(jié)為MIMO盲辨識問題。MIMO系統(tǒng)的辨識是對SIMO方法的擴展。本文提出一種基于頻域分析的方法來辨識n×r的MIMO系統(tǒng)，其輸入信號為獨立同分布的量。通常情況下討論的MIMO問題都是輸出信號的個數(shù)n≥r[1]。這種情況下一般經(jīng)過解卷積來恢復輸入信號。在本文中考慮輸入多于輸出的情況，也就是說n
假定MIMO系統(tǒng)模型為：
x=Hs （1）
其中x=[x1(t)x2(t)]T 為二維輸出矢量信號，s=[s1(t)s2(t)s3(t)]T為三維輸入信號矢量，si(t)為零均值獨立同分布非高斯白噪聲，H為2×3維瞬態(tài)矩陣。為方便起見，定義以下累積量[2]：
∧為對角陣，ejΦ用來替代每一行的模糊相位。P為行交換矩陣，為混合矩陣的估計值，可以通過（9）式得到。這樣即可通過（10）式得到H，從而由（1）式估計出輸入信號。
2 基于頻域?qū)崿F(xiàn)的MIMO系統(tǒng)的盲辨識
為了更進一步方便對MIMO系統(tǒng)進行盲辨識，將（1）式進行傅立葉變換得到（11）式：
X(ω)=H(ω)S(ω) (11)
可以通過估計xi(ω1)、xj(ω2)……的互累計量譜得到輸入信號的信息，但是根據(jù)Brillinger定理[3]可以得到式（12）：
cum{xi(ω1),xj(ω2),xk(ω3),xl(ω4)}=0,
ω1+ω2+ω3+ω4≠2πK ? (12)
其中K為整數(shù)，這樣，C40和C30就會為0，就很難估計輸入信號的值。因此在這里盡量避開X(ω),利用類似于（6）、（7）、（8）式的方法，定義一組基于系統(tǒng)輸出的互多譜的張量，為便于分析先從時域入手定義輸出信號的三種不同類型的四階互累計量：
在（16）和（17）中如果令ω1=ω2=ω3=ω則可得到與C31對應的頻域的張量表示形式：
對應于實脈沖情況，可用（22）式的兩個線性方程構(gòu)成的方程組來實現(xiàn)對多項式G(ω)的估計。
同樣的方法，可以通過（18）式得到其對應的張量如（23）式：
下面依次對式(24)中的參量進行估算：
(1) 估算∧(ω)：
對∧(ω)的估算可以借助功率譜，假定用PX(ω)來表示輸出信號的功率譜，則：
其中P(p)即為所需要確定的交換陣，可以通過求解（27）式得到P(p)。
如果系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，則到此即可對系統(tǒng)進行辨識，如果為非最小相位系統(tǒng)，則要繼續(xù)下面的估算。
(3)估算ejΦ(ω)
相位的恢復可以借助（26）式進行推導，結(jié)合（24）和（26）式，得到：
3 仿真
為了驗證上述方案的可行性，本文按上述方法對一個非最小相位系統(tǒng)進行了仿真。其中n=2,r=3,DFT長度為128，H(z)表達式如(30)式：
由圖1可以看出，除0和?仔外，其他頻率點的性能都比較好。
?
圖2給出了幅度和相位估計的波形，圖中虛線表示真實值，實線表示估計值，可以看出，只要通過改進0和?仔點的插入值就可改進估計的特性。
本文在對MIMO卷積系統(tǒng)盲辨識原理進行時域分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于頻域分析的思路，并且針對卷積MIMO系統(tǒng)中輸入多于輸出這一特殊情況，以3×2 MIMO系統(tǒng)為例，在頻域中對其盲辨識的過程進行了探討，最后總結(jié)出在頻域中對MIMO系統(tǒng)進行盲辨識的一般步驟，該步驟方案的Matlab程序?qū)崿F(xiàn)后經(jīng)過仿真證明具有較好的信道性能。該步驟可以推而廣之，擴展到所有輸入信號數(shù)目大于輸出信號數(shù)目的MIMO系統(tǒng)。
參考文獻
1 Chen B, Petropulu A. Blind MIMO system identification Based on Cross- Polyspectra. In:34th Annual Conf. on Information Sciences and Systems,CISS′2000,Princeton University, 2000
2 Binning Chen, Athina P. Petropulu.Frequency domain MIMO system identification based on second and higher-order Statistics.IEEE Transactions on Signal Processing, 2001;49(8)1677～1688
3 Serviere C, Capdevielle V. An identification method of FIR digital filters in frequency domain.In:European Signal Processing Conference - EUSIPCO’1994, 2000
4 Binning Chen, Athina P. Petropulu. Blind identification of convolutive MIMO systems with 3 sources and 2 sensors.IEEE Transactions on Signal Processing, 2002
5 Jitendra K, Tugnait. Identification and deconvolution of multichannel linear Non-Gaussian processes using higher order statistics and inverse filter criteria. IEEE IEEE Transactions on Signal Processing, 1997;45(3)
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