矢量量化(Vector Quantization)是一種極其重要的信號壓縮方法，廣泛應用于語音、圖像信號壓縮等領域。信息論的一個分支——“率-畸變理論”指出，無論對于何種信息源，即使是無記憶的信息源(即各個采樣信號之間互相統計獨立)，矢量量化總是優于標量量化，且矢量維數越大優度越高。因此，目前國內外對于矢量量化技術的研究非常廣泛而深入。平衡考慮量化效果和運算復雜度，多級矢量量化(MSVQ)提供了一個很好的折衷辦法。
　　線性預測編碼(LPC)參數能很好地表征語音信號" title="語音信號">語音信號的短時譜包絡信息，在各種LPC參數中，線譜頻率(LSF)^[1]較其它參數能更有效地表達LPC信息。K.K.Paliwal和B.S.Atal仔細研究了用24~26個比特量化一個10階LSF參數的方法，提出了分裂矢量量化(Split Vector Quantization)和多級矢量量化MSVQ(Multistage Vector Quantization)兩種方案,并且試驗得到了用25比特的2級MSVQ能取得較好的量化效果(平均失真1dB,2~4dB概率小于2%,大于4dB為0)。
　　MSVQ算法有效減小了碼本容量，但如果在量化比特有限的情況下，想取得透明的量化效果，必須解決兩個問題：(1)怎樣搜索碼本得到最佳匹配索引；(2)怎樣設計碼本。在算法設計中這兩個問題必須統一考慮。對前一個問題，為了方便一般采用序列搜索算法，依次搜索得到各級的最佳匹配矢量。在碼本設計中，更多的也是分級依次進行碼本訓練，割裂了各級碼本之間的相關性。本文將著重研究多級矢量量化的聯合優化碼本設計問題。
1 問題分析
　　傳統的MSVQ算法在LSF參數碼本設計時采用一種連續(stage-by-stage)的設計方法，第k級碼本只與前面的第1至第(k-1)級碼本有關，而不考慮后續各級碼本，即將后續各級碼本內容視為0。在量化時，同樣只在本級尋找1個最佳匹配矢量，然后得到余量矢量送入下一級量化。量化過程可以用式(1)表示，假設有2級碼本，需要找出各級碼本索引：
　　
　　在序列搜索算法中，搜索yi時,假設z_j為0，搜索z_j時y_i已經固定。這樣的搜索算法顯然是一種次優的搜索算法，解決這個問題的方法是全搜索^[3]。全搜索是最優的搜索算法，但是其計算復雜度卻是難以承受的。例如，一個25比特2級碼本(13-12結構)，其全搜索復雜度是上述連續搜索的2000倍以上。M進制搜索^[4]折衷解決了這個問題。在運算量大大減小的情況下，取得了逼近全搜索的量化效果。
　　在碼本設計中，無論是經典的GLA算法還是改進的模擬退火(SA)算法，碼本設計都是逐級連續進行的。利用各級碼本之間的相關性優化碼本設計，可以較明顯地改善MSVQ的量化效果。在應用聯合碼本設計方法量化音頻DCT系數時，已經取得了大約0.4 dB的SNR改善^[5]。本文在量化LSF參數時，對比300步的SR算法，得到了大約0.05dB、約1bit的加權對數譜失真(WLSD)^[6]的改進效果。
2 算法說明
2.1 失真距離量度
　　對一個MSVQ碼本，為方便考慮假設共有2級碼本。LSF參數為10維矢量。對LSF參數而言，其敏感矩陣(sensitivity matrix)是對角陣，因此可以用加權最小均方誤差(WMSE)代替加權對數譜失真(WLSD)作為失真量度^[6]。量化失真
　　
　　r的經驗值一般為0.15。
2.2 理論推導
　　對一個訓練矢量集X和兩級碼本Y、Z，可以對X中每個矢量進行2級全搜索，得到最佳索引值對(i,j)。根據i和j的不同可以對X中每個矢量進行聚類。假設S為對第一級碼字形成的聚類，S_i為所有X中第一級量化索引為i的訓練矢量集合。同樣假設R為第二級碼字聚類,可知，{S₁,S₂，…，S_K1}和{R₁，R₂，…，R_K2}均是同一X集合的不同劃分。對于X∈S_i，平均量化失真為：
　　
　　可以令v=E{x-U|x∈S_i}，則第三項為0。第二項恒為非負，所以
　　
　　通過多次迭代，可以得到聯合優化的最優碼本。
2.3 算法描述
　　(1)設置初始碼本，讀入訓練矢量文件，并對其進行兩級碼本全搜索，得到針對兩級碼本的聚類{S₁,S₂,…，S_K1}和{R₁，R₂，…，R_K2}。假設訓練矢量個數為num，對所有訓練矢量計算此時的量化失真之和，失真測度采用WLSD距離。設置迭代最大步數N，設置初始步數n=0；
　　(2)n=n+1，利用式(9)更新第一級碼本；
　　(3)重新對訓練矢量集進行全搜索，得到新的索引值對(i, j)，然后利用式(10)更新第二級碼本；
　　(4)再次對訓練矢量集進行量化搜索，得到新的索引值對(i, j)，并重新計算量化總畸變D_n；
　　(5)判斷n=N？若n＜N，跳轉至(2)繼續進行迭代；若n=N，結束迭代，保存更新后的碼字至碼本文件。
2.4 算法的進一步優化
　　上述聯合優化MSVQ算法中，很重要的一步就是對訓練矢量進行聚類，使每個訓練矢量得到一個最匹配的索引值對(i, j)。(i, j)應當是通過全搜索得到的全局最佳匹配矢量。在不需要在線更新碼本的情況下，全搜索是可以采用的。然而如果在矢量維數較高時,想減小碼本訓練的運算量，也可以采用M進制序列搜索的方法。取M=8在實驗中得到了很好的效果。這樣即可得到一個性能近似的簡化版JCO-MSVQ碼本設計方法。
　　另外，在碼本設計中，可能出現聚類中無訓練矢量，即出現空聚類的情況。這時可以刪除該空聚類，并將包含訓練矢量最多的那個聚類抖動成兩個聚類。這樣可以獲得更小的聯合量化誤差，如圖1所示。

3 實驗結果和分析
　　實際應用中，碼本訓練采用107 MB的語音文件，得到342302幀LSF參數(10維)和加權系數，訓練矢量集足夠大。在實際的2kbps語音編碼算法中，對LSF參數進行3級矢量量化，比特分配為9/8/6，共23bits。利用聯合優化碼本生成算法進行300步迭代，與SR算法的第三級300步迭代結果進行比較，得到訓練碼本總畸變數據，如圖2所示。

　　可以看到，同樣步數的JCO-MSVQ算法較SR算法能取得更小的量化畸變。SR算法經過一定步數的迭代，基本沒有下探的空間。而JCO-MSVQ算法則能繼續優化碼本，獲得更好的量化效果。并且，與SR算法不同，JCO-MSVQ算法中量化畸變是單調遞減的，因在訓練過程中每一步都是最優的(簡化算法中是多進制搜索，因而是次優的)。
　　統計量化譜失真，聯合碼本優化MSVQ比其他的MSVQ有明顯的改善。在同一個LSF量化器中分別采用23bits SR碼本(碼本1)、24bits SR碼本(碼本2)和23bits聯合優化碼本(碼本3)，測試語音為一個3.5MB的語音文件，既有男聲也有女聲，共11348幀LSF參數。統計量化譜失真得到表1所示數據。
　　從表1數據可以看到，同是23bits的量化，聯合碼本設計MSVQ與應用SR算法生成碼本的MSVQ相比較，有大約1個比特的改善，接近于應用SR算法24bits量化的效果。甚至優于文獻^[2]中MSVQ算法的26bits量化(平均譜失真0.93dB)。平均譜失真為0.87dB，大于4dB的譜失真統計為0，達到了透明量化的要求。