引言
    Reed-Solomon碼首先是由Reed和Solomon兩人于1960年提出來的，簡稱為RS碼。這是一類具有很強糾錯能力的多進制BCH碼，既能糾正隨機錯誤，也能糾正突發錯誤，也是一類典型的代數幾何碼。RS碼一直以來都是國際通信領域研究的熱點之一。
    本文以戰術軍用通信系統的首選碼RS(31，15)碼為例，對生成多項式進行了優化，并采用查表法的原理極大地提高了編碼器運算數據的能力，縮短了運算周期，最終利用VHDL語言編譯，在FPGA中實現，得到了正確的RS編譯碼。

1 RS編碼原理
    能糾正t個錯誤的RS(n，k)碼具有如下特性：
    碼長：n=2m-1符號或m(2m-1)比特；信息碼元數：k=n-2t符號或mk比特；監督碼元數：n-k=2t符號或m(n-k)比特；最小距離：d=2t+1=n-k-1符號或m(n-k+1)比特；最小距離為d的本原RS碼的生成多項式一般為：
   
    令信息元多項式為：
   
    監督多項式為：
   
    則碼多項式為：
   
    式中：Q(x)是g(x)整除C(x)所得的商式。所有這些原理都與二進制循環碼一樣，不同的僅在于運算方法。對于二進制碼，碼多項式各項系數只能取0或1，多項式的加減乘除是模二運算，是定義在GF(2)域上的多項式。現在碼多項式各項系數可以取q=2m種不同的值，應當是定義在GF(2m)域上的多項式。

2 生成多項式的優化
    以RS(31，15)為例，n=31，k=15，可糾正錯誤數為t=(n-k)／2=8；以為本原多項式，可得到GF(25)上的元素如表1所示。
    一般的生成多項式為：
   
    則碼字多項式以為零點。
    由于注意到：
   


3 RS編碼器的設計
    在GF(2m)域上的加法運算實際上就是每位作異或運算，由異或門組合而成即可。
    由于優化了生成多項式g(x)，這里只需要在ROM中存入的乘法表即可。

    由加法模塊和乘法模塊組成的一級模二運算電路如圖1所示。

    利用ISE9．0仿真軟件得到的運算一級模二運算的仿真圖如圖2所示。
   
    生成的一級模二運算模塊如圖3所示。
    依次連接多個模二運算模塊，進行一步步模二運算，得到余數多項式的系數，即為RS校驗碼。圖4為當信息碼字為M時的RS編譯結果。
   
可看到此時：
   

4 FPGA實現
    通過RS編碼后的數據為5×31的矩陣，形如；
   
    將5行數據交織編碼，交織度為I=5，得到(ao bo co do eo a1 b1 c1 d1 e1…a30 b30 c30 d30 e30)的形式，利用示波器從串口讀出，得到波形圖如圖5所示。

5 結語
    給出的RS編碼器設計方法對生成多項式進行了優化，使得ROM中需要存入的乘法表大幅減少，模擬模二運算的步驟設計編碼過程，最終燒入FPGA中，利用示波器采集到了正確的數據，證明RS編碼器編碼正確。本文介紹的RS編碼器設計方法簡單，占用資源少。