Kalman濾波理論在20世紀60年代一經提出，便得到了軍事、控制、通信等領域的極廣泛的應用。它可以實現隨機干擾下的線性動態系統的最優估計，目前Kalman濾波器的實現方式主要有兩種，一是在PC機上實現，可以同時滿足計算精度和實時性的要求，但是PC機體積大，質量重，成本高；二是通過DSP等芯片來實現，用這種方式實現的Kalman濾波器雖然體積小，質量輕，但是因其指令順序執行的CPU架構，在系統復雜時無法滿足系統的實時性要求。隨著控制系統的復雜性的提高，系統的階次變大，如組合導航系統的濾波，其濾波的階次一般都要18階，如果對系統進一步細化建模或增加其復雜性，其濾波階次可以達到幾十階。因此，Kalman濾波器在工程應用中的實現遇到了系統體積、重量、成本和系統精度、速度等性能不能兼顧的問題。隨著現代電子技術的發展，FPGA具有系統結構和邏輯單元靈活、集成度高以及適用范圍寬等特點，可以很好地解決這個難題。因為FPGA采用的是硬件并行算法，能很好的解決速度和實時性的問題，并且其具有靈活的可配置特性和優良的抗干擾能力，使得FPGA構成的數字信號處理系統非常易于修改、測試及硬件升級。隨著FPGA技術的不斷成熟，其內嵌資源不斷豐富，硬核乘法器和塊RAM的數目不斷增長，使得FPGA實現復雜的數字信號處理算法變得更為簡單和快速。因此，本文對FPGA技術和Kalman濾波算法進行結合研究，探索Kalman濾波算法在FPGA中的實現方式并進行性能驗證，以對基于FPGA的Kalman濾波算法的工程實現提供參考。

1 Kalman濾波算法理論

Kalman濾波是在時域內以信號的一、二階統計特性已知為前提、以均方誤差極小為判據，能自動跟蹤信號統計性質的非平穩變化，具有遞歸性質的一種算法。它處理的對象是隨機系統，并能正確估計出有用信號。設離散系統差分方程如下：



則Kalman濾波方程組如下：

狀態一步預測方程：



從式(1)～(6)可知，若利用傳統的處理器實現Kalman濾波算法，由于其指令執行的順序性，至少需要分為5步來實現，其中每一步還都需要進行至少1次的加法和乘法等運算，每次運算都要順序執行，其執行速度和效率很低；如果利用FPGA來進行Kalman濾波，根據其各步的邏輯關系，可以分為3步來實現，即第一步計算狀態一步預測值和一步預測均方誤差Pk+1／k，第二步計算濾波增益Kk+1，第三步計算狀態最優估值和估計均方誤差Pk+1／k+1。由此可知，利用FPGA技術可以實現Kalman濾波的并行計算，壓縮計算時間，提高解算速度。因此，對FPGA的Kalman濾波進行研究開發，可實現基于FPGA的快速Kalman濾波解算，滿足在對實時性要求更高的環境中使用。

2 在FPGA中實現Kalman濾波算法研究

由于FPGA實現Kalman濾波解算速度非常快，若利用FPGA的串行口依次輸入觀測值，由于數據串行輸入的特點，會使FPGA的解算部分等待數據接收完畢才能執行濾波解算，導致整體的解算時間過長。為檢驗FPGA實現Kalman濾波器的計算性能，本文預先將觀測值輸入并保存于FPGA內的ROM中，以使FPGA可以連續地進行濾波解算，實現方案原理如圖1所示。



圖1中，Kalman濾波解算在FPGA內完成，RAM和ROM使用FPGA內嵌的硬件RAM存儲器，其中RAM暫存每步的中間結果，ROM存放濾波中的固定系數，如觀測矩陣、噪聲系數陣等。Kalman濾波的解算過程主要利用內嵌的硬核乘法器等資源來完成。因解算速度較快，解算結果暫存于一個稍大的存儲器內，同時通過串行口輸出到PC機上保存用于分析。該方案的關鍵問題是在FPGA中實現Kalman濾波算法。

FPGA實現Kalman濾波器，其實質就是控制數據的轉移和存儲并實現矩陣的相乘、加、減、求逆等運算。其中，數據的轉移控制需要有限狀態機(FSM)來完成，同時FPGA設計中，不可避免的會遇到資源與速度的問題。因此，需要對上述各關鍵技術進行研究和實現。

2．1 矩陣相乘在FPGA中的實現

Kalman濾波計算中最基本的步驟就是矩陣相乘。對于其中最常見的D=A×B×C型的矩陣相乘，有兩種實現方式：方式一，分步相乘；方式二，直接相乘。事先將矩陣A，B，C分別存入ROM1，ROM2，ROM3中，方式一中，首先進行兩個矩陣的相乘，多路選擇開關MUX選通ROM1和ROM2，依次讀取其中的數據進行乘加，完成前面兩個矩陣的相乘，結果存入ROMTEMP中；然后，MUX選通ROMTEMP和ROM3，利用前面同樣的資源，完成三個矩陣的連乘。方式二中，ROM1，ROM2，ROM3同時輸出數據，MUX根據解算需要配置乘法器和加法器的輸入，所有的過程同時進行。從上面的執行過程可知，方式一的執行需要占用更多的時間，而方式二的執行會占用更多的資源。對于上述N階的3個矩陣相乘，其占用資源和所需時間如表1所示。



由表1可知，對于維數越大的矩陣相乘，需要的浮點加法器越多。由于浮點加法器的生成利用FPGA內的基本邏輯單元——可配置邏輯塊(CLB)，所以其占用的CLB等資源也越多。這種現象在上述方式二中尤為突出。本文中研究擬先實現二階Kalman濾波器，階次較低，資源相對充足，為檢驗FPGA實現Kalman濾波器的快速性，選用第二種方式進行矩陣相乘，以得到最快的解算速度。

2．2 有限狀態機的運用

有限狀態機是一種用來進行對象行為建模的工具，其作用主要是描述對象在它的生命周期內所經歷的狀態序列，以及如何響應來自外界的各種事件。Kalman濾波中，由于解算過程中的邏輯關系，需要分步進行，所以需要用有限狀態機來控制各步的轉移。根據各步間的邏輯關系，可以將其大致分為4個狀態：S0，S1，S2和S3狀態。其中，S0為初始化狀態，之后進入S1狀態，計算和Pk+1／k，然后進入S2狀態，計算Kk+1，最后計算解算結果和Pk+1／k+1。計算Kk+1時，也需要將其分步實現。若將各步的解算歸于同一個狀態機內，則顯得邏輯復雜。為使得各步的邏輯更加清晰，并且增加狀態機的穩定性和安全性，使用交互狀態機，如圖2所示。



圖2中，狀態機的交互過程中，沒置標志信號enble和finish分別用于啟動和終止計算K值的狀態，初始化時其值均為0。當計算完第一步進入S2時，enble置為1，啟動計算K值的狀態；當K值計算完成時，finish置為1，進入S3，enble和finish置為初值0，為下次狀態交互做準備。進入原狀態機繼續進行下面的計算。

書寫狀態機時，采用三段式寫法，一個模塊采用同步時序描述狀態轉移，另一個模塊采用組合邏輯判斷轉移條件并進行狀態轉移，第三個模塊實現同步輸出。三段式描述方法的狀態機，做到了同步寄存器輸出，消除了組合邏輯輸出的不穩定和毛刺現象，而且更利于時序路徑分組，綜合與布局布線效果更佳。

2．3 資源分時復用

FPGA設計中，資源與速度是個矛盾體。FPGA中的資源是有限的，所以必須考慮資源的節省問題。由于Kalman濾波可以分3步進行，所以每一步可以利用其它步中相同的資源。此種方法可以在不降低總體速度的情況下，減少資源利用量；而對于階次較高的Kalman濾波，此方法可以最大限度的增加并行性，提高速度。該設計中用到大量的乘法器、加法器以及CLB等資源，計算第一步時用到的資源會在第二步和第三步中用到，即同一資源被用到3次。以其中用到的某乘法器的分時復用為例，其輸入端口在不同的時刻可以有不同的賦值，實現語句如下：



3 性能對比及分析

為驗證本文研究利用FPGA實現Kalman濾波算法的性能，采用二階Kalman濾波器進行實際性能對比測試。建立數學模型如下：選取狀態轉移矩陣，無控制量，即控制陣Uk=0，噪聲系數矩陣，Wk是系統動態噪聲，是均值為0、方差陣為的白噪聲隨機序列。

對于該濾波器分別利用三種方式實現：采用Matlab在PC機上實現、利用DSP實現和利用FPGA實現。其中，PC機為DELL Dimension4700臺式機，安裝Matlab 7．0軟件；DSP選用雙精度浮點型TMS320C6713型號的芯片；FPGA型號為XC2VP30，主頻100 MHz，內嵌多達136個硬核乘法器和2 MB硬件RAM。為得到更準確合理的結果，分別截取第1～3次、11～13次、21～23次的計算結果來對比。因為在PC機上利用Matlab實現的Kalman濾波器通過軟件設置可以達到很高的計算精度，所以將其得到的結果作為標準值(真值)，分別用FPGA實現和DSP實現的結果與其進行對比分析。選取估計均方誤差陣Pk+1／k+1的第一個元素來進行對比分析各實現方式的性能，其解算結果對比如表2和表3所示。



由表2可知，利用FPGA實現的濾波結果，其精度與用Matlab實現的精度相差無幾，且略高于利用DSP實現的單精度的結果。由表3可知，在解算時間方面，利用FPGA實現方式的快速性遠遠高于利用其他兩種方式。而且，對于階次越高的Kalman濾波器的實現，傳統處理器所需的時間越長，利用FPGA實現方式的時間的優越性越顯著。

4 結語

針對Kalman濾波的傳統實現方法的不足，本文提出利用具有可并行計算特點的FPGA來實現Kalman濾波的方案，并對FPGA實現Kalman濾波的三種方式進行了研究，確定了利用IP核作為主要計算元件的實現方式。對Kalman濾波實現過程中的關鍵問題進行了研究和實現。通過對PC機、DSP和FPGA三種實現方式的結果對比，驗證了利用FGPA實現的Kalman濾波器具有較高的精度和極高的實時性。