摘  要： 確定兩點之間最短路徑，通常要求該路徑滿足兩點之間的權(quán)之和最小。為此采用層次遍歷圖的思想，設(shè)計了一種新的結(jié)構(gòu)存放路徑選擇信息，找到一種確定這種最短路徑的算法，并給出了算法描述以及實例。
關(guān)鍵詞： 鄰接表；邊鏈表；層次遍歷圖;隊列；最短路徑

    在實際生活中常常會遇到求最短路徑問題，如：從Ａ地到Ｂ地有若干條路可選，每條邊上都標有象征某種意義的權(quán)值。有人選擇路徑的方法是希望總路徑的權(quán)之和最小；有人選擇中轉(zhuǎn)次數(shù)最少；而還有人希望在中轉(zhuǎn)次數(shù)最少的條件下盡量權(quán)之和最小。確定權(quán)之和最小的最短路徑算法目前國內(nèi)外公認較好的是Dijkstra算法和Floyed算法，這兩種算法已被廣泛用于生活中各個領(lǐng)域，如：網(wǎng)絡(luò)尋優(yōu)、道路交通等。但這些算法都只單純地考慮路徑中權(quán)之和達到最小,而并未考慮路徑中邊數(shù)能否也最少。而在目前高科技迅猛發(fā)展的經(jīng)濟時代，人們在選擇出行方案時可能會更加注重降低因中轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的精力和時間的消耗而不會過多在意為此多出的花費。因此，許多情況下出行的人們會考慮中轉(zhuǎn)次數(shù)盡量少，然后在相同的中轉(zhuǎn)次數(shù)下優(yōu)先選擇花錢最少的路徑作為選擇方案。
    本文提出了一種確定兩個頂點之間經(jīng)過的邊數(shù)最少且相同邊數(shù)前提下權(quán)值之和最小的最短路徑的一種算法。在本算法中，采用鄰接表存儲結(jié)構(gòu)存儲原始圖，在層次遍歷法的思想遍歷圖的基礎(chǔ)上進行了修改，設(shè)計了一種新的結(jié)點結(jié)構(gòu)存放路徑選擇中的信息。當遍歷到終點結(jié)點出現(xiàn)時，終止遍歷過程，然后在目標結(jié)構(gòu)中從該終點開始按指定的指針域?qū)訉酉蛏纤阉鞑⑤敵鼋?jīng)過的每一個結(jié)點序號直到指針為空為止。輸出的序列就是要找的最短路徑。
1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計及算法
    設(shè)有n個頂點的一個無向圖，圖中每條邊都標有代表某種意義的權(quán)值，現(xiàn)求從頂點i到頂點j的邊數(shù)最少且權(quán)值也最小的最短路徑。
1.１ 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計
    (1) 采用鄰接表作為原圖的存儲結(jié)構(gòu)
    其中的表頭結(jié)點vnode中存放頂點信息如：城市名稱(cityname)，對應(yīng)頂點的序號(verindex)以及指向該頂點的邊鏈表的頭指針域（firstarc），如圖1所示。邊鏈表結(jié)點node中存放頂點的序號(verindex)、表頭結(jié)點到該頂點的邊上的權(quán)值(weight)以及指向與表頭頂點鄰接的下一個頂點的指針域（nextarc），如圖2所示。

     C語言描述如下：
       typedef struct node
       { int  adjindex ;
           int  weight ;
           struct node  *nextarc ;
       } Node ;
       typedef struct vnode
       {char  cityname[20];
           int  verindex;
           struct node  *firstarc;
    }Vnode ;
　    n個頂點圖的鄰接表就定義為：vnode  g[n+1];其中下標為０的元素不用。
    (２) 存放路徑信息的結(jié)點結(jié)構(gòu)BT
      該結(jié)構(gòu)中的頂點有4個域,如圖3所示。

       C語言描述為：
       typedef struct bt
       {struct  bt  *parent ,*brother ,*first ;
           int  data ;
       }BT ;
    其中：
    *parent：記錄該結(jié)點被確定之前的最短路徑上的前一個結(jié)點，稱之為該結(jié)點的雙親。
    *brother：記錄該結(jié)點所在的邊鏈表中下一個未被訪問過的頂點。
    *first：記錄該結(jié)點的邊鏈表中第一個未被訪問的頂點序號。
    data：記錄該結(jié)點序號。
    (３)建立一個ＢＴ類的長度為n+1隊列q并初始化為空隊。
    (４) 建立一個整型一維數(shù)組visited[n+1]，用來存放每個頂點是否已被訪問過的標志，未被訪問其對應(yīng)元素值為０，否則為１，因此初始化該數(shù)組全部為０。
1.２ 算法
    以交通問題為例，確定從城市Ａ（對應(yīng)序號為i）到城市Ｂ（對應(yīng)號為j）經(jīng)過的邊數(shù)最少且相同邊數(shù)條件下權(quán)之和也最小的最短路徑。
    算法描述中用到的變量聲明約定如下：
       Node *p,*q;
    BT  *t ,*r ,*u ,*q[n+1] ;
       Vnode  g[n+1] ;
       int  visited[n+1]={0}, i, j, w, k;
    (1) 建立鄰接表，為了確保找到的邊數(shù)最少的路徑也一定是相同邊數(shù)下權(quán)值之和最小的一條，故要求每個頂點的邊鏈表中的權(quán)值(weight)都是按從小到大的順序連接起來的。為此，在算法中先將輸入的所有邊按權(quán)值進行降序排列，然后在建立圖的鄰接表時，依次考查每一條邊，將該邊的起點和終點分別以頭插法插入到相應(yīng)終點和起點的邊鏈表中。
    (2) 從頂點i開始，申請一個ＢＴ類的結(jié)點t，其中t->parent＝NULL，t->brother=NULL，t->first=NULL，t->data=i，visited[i]=1，r=t，并且將t結(jié)點加入q隊列。
    (3)若q隊列未空，將隊首元素出隊,即u=q[++front]，并獲取u->data在鄰接表中的邊鏈表的頭指針，即p=g[u->data]->firstarc，設(shè)置一個標志變量k=1（當k為１時，說明剛出隊的隊首結(jié)點u的邊鏈表中還沒有一個未被訪問的結(jié)點加入到目標路徑中）。
    一個結(jié)點剛出隊時，該結(jié)點的邊鏈表中肯定還沒有一個結(jié)點被加入到目標路徑中，因此該結(jié)點將作為它的邊鏈表中的結(jié)點的雙親結(jié)點。
    (4) 若p非空（即雙親結(jié)點邊鏈表還未訪問完），則獲取w=p->adindex，并按序執(zhí)行進行如下三種情況：
    ①若p指向的結(jié)點未被訪問過，即：visited[w]=0，且k=1，則說明結(jié)點w是雙親結(jié)點的邊鏈表中第一個未被訪問過的結(jié)點，故w應(yīng)該加入目標結(jié)構(gòu)中成為雙親u的first。因此為 w申請一個ＢＴ類的結(jié)點空間t，此時，t為u的first，t的parent為u，即：u->first=t，t->parent=u，t->data=w，t->brother=NULL，t->first=NULL，r=t，并將t入q 隊列。
    ②若p指向的結(jié)點未被訪問過，且k=0， 則說明w不是雙親結(jié)點的邊鏈表中第一個未被訪問過的結(jié)點，故w應(yīng)作為前一個未被訪問結(jié)點t的brother而加入到目標結(jié)構(gòu)中。因此申請一個BT類結(jié)點空間t，t只能作為r的兄弟連接，t的雙親仍為u,即：r->brother=t，t->parent=u，t->first=NULL，t->brother=NULL，t->data=w，r=t。
    ③若p指向的結(jié)點w未被訪問過，則置visited[w]為1且k為0。此時再做如下判斷：
    若t->data＝＝j(luò)，說明了剛加入目標結(jié)構(gòu)中的結(jié)點就是終點，最短路徑已經(jīng)找到。因此從t開始按雙親域?qū)訉酉蛏纤阉髂繕私Y(jié)構(gòu)并一一輸出每個結(jié)點的data域，直到結(jié)點為空為止，輸出的就是要找的路徑，結(jié)束本算法。
    若t->data!=j說明剛加入目標結(jié)構(gòu)的結(jié)點還不是終點，則繼續(xù)考慮邊鏈表的下一個結(jié)點，即p=p->nextarc，轉(zhuǎn)④繼續(xù)。
    ④若p指向的結(jié)點w已被訪問過,則p=p->nextarc，轉(zhuǎn)4）繼續(xù)。
    (5) 若p為空，說明雙親u的邊鏈表已全部經(jīng)遍歷，應(yīng)該從隊列出取出一個新的結(jié)點繼續(xù)考查。故轉(zhuǎn)③繼續(xù)。    (6) 若q已空，則說明從i到j(luò)無路徑，算法結(jié)束。
2 實例
    以下以一個交通圖為例,求任意兩點之間的邊數(shù)最少且權(quán)之和也最小的最短路徑。如圖4所示。
    在該圖中各頂點分別代表不同的城市名，兩點之間有邊相連代表兩個頂點鄰接，邊上的權(quán)值代表兩點之間乘車的費用。
    問題:尋找從1~５的邊數(shù)最少且權(quán)之和最小的路徑。
    圖4所建的鄰接表如圖5所示。

    按照上述算法所得的目標結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

    從終點5開始按praent域?qū)訉酉蛏纤阉髦钡浇Y(jié)點為
空為止，得一結(jié)點序列5，4，2，1，因此，1->2->4->5就是該問題要找的從結(jié)點1到結(jié)點5的最短路徑，其權(quán)之和6也是相同邊數(shù)的路徑中權(quán)之和最小的一個。
    本文采用了圖的鄰接表結(jié)構(gòu)以及層次遍歷思想，給出了一種確定任意兩點之間中轉(zhuǎn)邊數(shù)最少且權(quán)值最小的最短路徑的算法，并給出了一個實例。這種算法并不是最理想的，但至少是一種有效的實現(xiàn)方法，還有待于進一步優(yōu)化和改進。
參考文獻
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