摘 要： 針對(duì)在FPGA中直接運(yùn)用分布式算法" title="分布式算法">分布式算法實(shí)現(xiàn)內(nèi)積運(yùn)算時(shí)，內(nèi)積運(yùn)算的系數(shù)大小、存儲(chǔ)資源、運(yùn)算速度" title="運(yùn)算速度">運(yùn)算速度難于達(dá)到最佳配置的問(wèn)題，從算法、存儲(chǔ)規(guī)模、查表" title="查表">查表速度三個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)的分析和討論，并給出了相應(yīng)的優(yōu)化和改進(jìn)措施。
關(guān)鍵詞： FPGA 內(nèi)積算法 優(yōu)化
基于分布式算法通過(guò)FPGA查找表" title="查找表">查找表實(shí)現(xiàn)內(nèi)積運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)如下算法：
其中：Am為固定系數(shù)，Xm為輸入數(shù)據(jù)(Xm<1)。利用分布式算法將內(nèi)積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為移位求和實(shí)現(xiàn)，用二進(jìn)制補(bǔ)碼表示，將Xm表示成如式(2)形式：
式(3)中，由于Xmn的取值為0或1，所以
存在2M 種不同的結(jié)果。如果事先構(gòu)造一個(gè)查找表，該表存儲(chǔ)了所有可能的組合值，即可以預(yù)先計(jì)算這2M個(gè)值，并存入查找表（LUT）中，用Xmn作為查找表的地址信號(hào)，將查找表的輸出結(jié)果移位(2-1運(yùn)算)和相加，經(jīng)過(guò)N-1個(gè)周期即可直接獲得乘法累加的結(jié)果。這樣就將復(fù)雜的乘法累加運(yùn)算轉(zhuǎn)化為移位相加運(yùn)算。為提高運(yùn)算速度，采用并行運(yùn)算。其硬件電路簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖1所示。
直接運(yùn)用分布式算法實(shí)現(xiàn)內(nèi)積運(yùn)算,雖然實(shí)現(xiàn)了把復(fù)雜的內(nèi)積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為移位相加運(yùn)算，但其查找表的規(guī)模隨著系數(shù)呈指數(shù)增加。如果系數(shù)小，則可以方便地通過(guò)FPGA豐富的查找表結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)；如果系數(shù)大，則將占用FPGA大量的存儲(chǔ)資源，使運(yùn)算速度降低。同時(shí)N-1個(gè)周期也使查表時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，運(yùn)算速度降低。
本文針對(duì)系數(shù)大小、存儲(chǔ)資源、運(yùn)算速度的配置問(wèn)題，對(duì)算法進(jìn)一步改進(jìn)、優(yōu)化，使算法達(dá)到存儲(chǔ)規(guī)模小、運(yùn)算速度快，進(jìn)一步提高運(yùn)算的性能。
1 算法的優(yōu)化
將Xm用下式表示：
根據(jù)二進(jìn)制補(bǔ)碼的運(yùn)算，-Xm可表示為：
存在2M種不同的結(jié)果，但其中φmn的取值為±1，結(jié)果呈現(xiàn)出正負(fù)對(duì)稱性。如果不考慮正負(fù)號(hào)，則只有2M-1種不同結(jié)果。存儲(chǔ)規(guī)模減少了一半。用φmn作為L(zhǎng)UT的地址信號(hào)，查找表存儲(chǔ)器上一半地址對(duì)應(yīng)的預(yù)存值將會(huì)是下一半的取負(fù)。其硬件電路簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖2所示。
其中括號(hào)內(nèi)的地址為X的下一半地址。該地址查找上一半地址對(duì)應(yīng)的預(yù)存值，同時(shí)作為Ctrl控制加/減器，完成下一半地址和上一半地址對(duì)應(yīng)的預(yù)存值的正負(fù)轉(zhuǎn)換，送到累加器，經(jīng)過(guò)N-1個(gè)周期即可獲得乘法累加的結(jié)果。
2 存儲(chǔ)規(guī)模的優(yōu)化
由圖2可知，算法優(yōu)化后式(8)可以簡(jiǎn)化為：
雖然經(jīng)過(guò)算法優(yōu)化后存儲(chǔ)規(guī)模減少了一半，但查找表的規(guī)模隨著m呈指數(shù)增加。為了進(jìn)一步減少所用查找表的規(guī)模，可采用減小m的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。式(9)中
可以定義為：
3 查表速度優(yōu)化
為便于并行處理,可將圖3中的查找表設(shè)計(jì)為相同深度，則每一個(gè)輸人數(shù)據(jù)Xm(N-1)，分為C(為了與FPGA的4輸入LUT相關(guān)，令C為4的倍數(shù))段，則xmn可以表示為：
從式(12)并結(jié)合圖4可以看出，查找表只需N/c-1個(gè)周期就可以得到內(nèi)積的結(jié)果。與前面需N-1個(gè)周期相比較，速度提高了近c(diǎn)倍，實(shí)現(xiàn)了高速、高效運(yùn)算處理。其硬件電路簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖4所示。
用分布式算法將復(fù)雜的內(nèi)積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為移位相加運(yùn)算，可清晰地表示內(nèi)積結(jié)果。針對(duì)實(shí)現(xiàn)過(guò)程中系數(shù)大小、存儲(chǔ)資源、運(yùn)算速度的最佳配置問(wèn)題，從存儲(chǔ)規(guī)模、算法、查表速度三個(gè)方面對(duì)算法進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化。算式推導(dǎo)過(guò)程層次清楚，電路結(jié)構(gòu)合理，使內(nèi)積算法達(dá)到存儲(chǔ)規(guī)模小、運(yùn)算速度快的目的，性能得到大大提高。
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