摘 要： 在數字信號處理中，FFT運算具有非常重要的作用。傳統FFT算法具有原位計算的特點，原位FFT算法在自然序輸入時輸出呈逆序狀態，因此為了得到自然序的結果數據，就必須對全部FFT輸出數據進行整序。使用查找表整序是從FFT的逆序輸出結果中直接讀取自然序結果數據。試驗證明，在獲取全部FFT結果數據時，查找表整序相比傳統整序在時間效率上可以提高一倍，并且在連續FFT分析的情況下，優勢會更明顯。
關鍵詞： FFT；逆序；整序；查找表
0 引言
在原位FFT運算過程中，當輸入數據為自然序時，由于FFT算法過程對輸入數據的多次“奇偶抽取”，使得輸出數據呈逆序狀態，即輸出數據的索引和自然序索引的二進制表示呈相互位逆序狀態[1]。因此必須對輸出數據進行整序，才能得到自然序的結果。即一次FFT分析包括FFT計算和對FFT逆序輸出的整序。FFT分析幾乎都在DSP處理器中完成，DSP處理器通過內部CPU逐條執行軟件指令來完成各種運算和邏輯功能[2]。因此，在DSP內執行一次FFT算法，必須順序執行FFT計算和整序操作[3-5]。研究者為提升整序效率進行了多種改進，有的是對整序過程中的逆序數計算進行了多種改進，比如逆序數生成法[6-7]和分組數據交換法[8]，但這些改進只關注了整序過程中的逆序數計算這一個方面；有的將逆序數計算與整序結合在一起，比如任意基的快速整序算法[9-10]，但這種方法理解起來很困難[11]。
在實際應用中，所感興趣的目標FFT數據，無論是全部FFT數據還是部分數據，都可看作全部自然序的FFT結果中的一段，那么可以設法從FFT逆序輸出中直接獲取這一段目標數據。即首先明確目標數據段在整序后的FFT結果中的位置，計算這些位置索引值的逆序數并存儲在一個查找表中，然后根據此查找表就可以在FFT的逆序輸出數據中直接提取目標數據。采用此算法將逆序數的計算從整序過程中剝離，簡化整序過程，提高整序效率。使用查找表整序的方式易于理解，操作簡單，并且在需要進行連續FFT分析的情況下會體現出很大的優勢。
1 FFT算法的原位計算的特點
圖1是8點的時域抽取基-2的原位FFT算法流程，輸入數據是自然序的，輸出數據為逆序狀態[4]。
對圖1中FFT的輸入數據和輸出數據的索引變化在表1中予以反映。
由表1可見，原位FFT的輸入數據為自然序，輸出數據為逆序，并且將自然序索引二進制表示的比特排列順序完全逆過來，就得到逆序索引的二進制表示[5]。因此為了得到自然序的FFT結果，就需要對FFT的逆序輸出結果進行整序。傳統的整序算法是在原位FFT計算完畢后依自然序遍歷每一個輸出數據，先通過“比特倒序”運算計算自然序索引的逆序數，此逆序數就是輸出數據的正確索引值，再以逆序數為索引調整這個FFT數據的位置，最后得到全部自然序的FFT結果數據。在DSP內只能使用高級語言編碼實現位逆序時，傳統做法是利用產生逆序數的十進制運算規律，采用循環迭代計算逆序數[4-5]。
一次傳統的N點原位FFT分析需要計算N個索引值的逆序數才能得到全部的自然序結果，進而才能獲取自然序結果中的某一段目標FFT數據。對于需要連續進行FFT分析的情況，無論是獲取全部FFT數據還是一段FFT數據，每一次N點FFT分析都需要重新計算一遍N個索引值的逆序數。對于重復計算，可以只計算一次，因此可以優化FFT分析中的整序過程。
2 基于查找表整序算法
無論所需要的目標數據是全部FFT結果還是部分FFT結果，都可以事先計算目標數據在整個FFT結果中位置索引的逆序數，并將這些逆序數存儲在一個查找表中，然后根據此查找表在FFT逆序輸出數據中直接提取自然序的目標數據。在需要對信號進行連續FFT分析的環境中，查找表的計算可以在FFT分析前完成，并且只需計算一次。這種整序方式可以省去FFT分析過程中計算逆序數的時間，縮短單次FFT分析時間，提高單位時間內的FFT分析次數，提高信號分析效率。
設N點原位FFT運算，對目標數據在全部自然序的FFT結果中的位置索引進行逆序操作，由于自然序和逆序索引的二進制表示之間是比特倒置關系，于是需要將每個自然序索引值二進制表示的最低位移向最高位，次低位移向次高位直到完成這個自然序索引值的位逆序過程。將一個索引值的位逆序函數設為BitReverse（intiSourceIndex，intiBitNum），其返回值為一個逆序數；所獲取的查找表設為IndexArray。位逆序的計算流程圖如圖2所示。
圖2中，iSourceIndex是待逆序的索引值，iBitNum是FFT計算點數的二進制位數，iDesIndex是BitReverse（）函數返回的逆序數。構造FFT結果的數據查找表的流程圖如圖3所示。
圖3中，iStart為目標數據在整個FFT自然序結果中的起始位置，iDataLen為目標數據的長度，由BitReverse（）函數的返回值iDesIndex構成一個位置查找表IndexArray。于是，通過查找表從位置索引為iDesIndex的FFT逆序輸出中獲取自然序的目標結果數據。相比于傳統的整序方式，使用查找表整序可以省去FFT分析過程中逆序數的計算過程。下面的試驗在FFT計算完畢后，統計了傳統整序和使用查找表整序所消耗的時鐘周期個數，進而比較兩種整序方式的時間效率。
3 試驗
試驗環境是TI公司提供的高效C編譯器和集成開發環境Code Composer Studio，選擇C67xx CPU Cycle Accurate Simulator處理器。在獲得相同整序結果的前提下，比較傳統整序和使用查找表整序的耗時情況。試驗中，N點自然序數據作為FFT的輸入，目標數據為全部FFT結果數據。在FFT計算完畢后，對FFT的逆序輸出數據采用不同的整序方式得到自然序結果數據，統計兩種整序方式所消耗的時鐘周期數，并通過對比時鐘周期數得到兩種整序過程在時間效率上的差別。
記錄N點FFT中傳統整序和查找表整序所消耗的時鐘周期個數，并計算后者與前者的百分比以觀察時間效率的改善情況。運行情況記錄如表2所示。
由表2可見，單獨就整序過程而言，使用查找表整序比傳統的整序在時間效率上可以提高一倍多。如果僅需要得到某一段FFT結果數據，傳統整序首先要對N點FFT的全部逆序輸出進行整序，然后再截取目標數據，而使用查找表整序則可以從FFT逆序輸出數據中直接獲取任意長度的目標數據，并且目標數據的長度越短，查找表長度越短，獲取目標數據的時間效率就越高。
對于N點原位FFT運算，傳統整序需要計算N點索引的逆序數。使用查找表進行整序，假設目標數據長度為M（M≤N），則查找表內索引個數為M，索引數據類型設為32 bit整型，那么所需分配的空間為M×32 bit。計算查找表時可以在FFT分析前進行，這部分時間不占用FFT分析時間。對于單次FFT分析，增加M（M≤N）點數據空間可以為FFT計算節省N次逆序數的計算時間；對于連續FFT分析，不妨設連續分析n次，可以節省n×N次逆序數的計算時間。
4 結論
本文在充分理解原位FFT的計算特點后，在FFT分析前，對目標數據在全部FFT結果中的位置索引計算逆序數，并將計算結果存儲為一個查找表，然后通過此查找表從FFT的逆序輸出中獲得自然序結果。試驗結果證明，相比于傳統的整序，使用查找表整序時間高效并且簡單實用，具有普遍的實用價值。比如，在軟件無線電領域，一般的無線電信號帶寬比較窄，頻率范圍比較寬，通常使用帶通采樣，因此對無線電信號進行FFT計算時，只關心某一段結果數據；并且在需要對無線電信號進行連續監測的環境中，系統希望快速獲取每一次的FFT分析結果，在這種情況下，使用查找表整序處理FFT的逆序輸出就具有很大的優勢。于是，使用查找表整序節省了FFT分析的整序時間，從而提高了FFT分析的時間效率。
參考文獻
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