0 引言

    MIMO技術充分利用了空間資源，可以通過空間復用、空間分集或智能天線技術達到提高數據比特率、降低誤碼率或提高信噪比的目的^[1]，但當系統中天線之間具有空間相關性時，會對系統性能造成影響。參考文獻[2]研究了拉普拉斯角能量分布條件下均勻圓陣下的空間相關性，分析了衰落因子和歸一化間距對空間相關性的影響。參考文獻[3]與參考文獻[4]分析了均勻線陣與均勻圓陣下空間相關性對系統誤碼性能的影響；參考文獻[5]研究了空間相關性對信道容量的影響，在這些研究中均未將收發結合進行研究。本文首先研究MIMO系統的空間相關性模型，然后根據該模型，針對上述研究中的不足，研究均勻線陣和均勻圓陣結合的2發4收MIMO系統空間相關性對誤碼性能和信道容量的影響。在本文分析中，未考慮信號的傳輸距離的衰落和多普勒的影響。

1 MIMO空間相關性模型

    MIMO天線空間相關性主要指發射端與接收端天線之間的相關特性，用相關系數進行表征。假設任意兩個接收天線的相關性與發射天線是哪一個無關，兩個發射天線之間的相關性與接收天線是哪一個也沒有關系^[6-7]。

    對第m個天線陣元和第n個的天線陣元的相關系數定義為^[2]：

其中，λ為無線電波波長，M表示天線個數，d是線陣天線間距，θ是發射信號的離開角或接收信號的到達角，φ為發射信號或接收信號的俯仰角(本文中假定為φ=90°)，R為均勻圓陣的半徑，Ψ表示圓陣的位置方位角。

    常用的角能量譜概率分布包括高斯分布、均勻分布和拉普拉斯分布，在城區和農村環境下，拉普拉斯角能量分布是與信道測量結果吻合最好的一種分布^[9]。因此本文研究拉普拉斯角能量分布情況下的MIMO天線的空間相關性。

    拉普拉斯角能量分布方程^[8]為：

    可以認為角分布標準差σ即為角度擴展，隨著角度擴展的增大，衰落因子相應減少，反之亦然。

    將式(2)、(3)、(4)代入式(1)，可得均勻線陣和均勻圓陣下的空間相關性系數^[3-4]。

2 空間相關性對誤碼率的影響

    參考文獻[8]對均勻線陣和均勻圓陣情況下，采用最大比合并，假設是準靜態信道，不考慮多普勒的影響，得出了空間相關性與誤碼率的關系，如式（10）所示：

式中，λ_m為空間相關矩陣R_h的特征值，R_h=γ_cR_v，γ_c是接收到的每天線每比特的信噪比，式(10)是采用BPSK調制解調下的性能特性，也可適用于采用格雷編碼的QPSK。由式(10)，需要計算MIMO信道的整體相關矩陣R_v，從而計算特征值，R_v可以通過下式進行計算[6]：

3 空間相關性對信道容量的影響

    當得到系統的發射相關矩陣和接收相關矩陣后，可以根據式(12)計算MIMO系統的信道傳輸矩陣H^[7]：

其中，H_iid為隨機矩陣，其元素為獨立同分布的零均值復高斯變量，(·)^1/2表示矩陣的平方根分解。當發射端不知道信道狀態信息時，采用等功率發射，即每根天線上分配相同的功率，MIMO信道的瞬時容量為[5]：

其中，(·)^H表示矩陣的復共軛轉置，I表示單位矩陣，ρ是平均信噪比，n為發射天線數和接收天線數的最小值。由式(13)，信道容量與MIMO的信道傳輸矩陣有關，而信道傳輸矩陣又受發射與接收天線的空間相關性影響，將在下節中通過計算分析空間相關性對信道容量的影響情況。

4 計算與分析

4.1 空間相關性分析

    根據式（6）、（7）、（8）、（9）分別計算均勻線陣和均勻圓陣的空間相關值并取模，得到均勻線陣和均勻圓陣的相關值曲線分別如圖1、圖2所示，圖1是線陣陣元1和陣元2的相關性，圓陣的陣元分別位于圓周的π/4、3π/4、5π/4和7π/4處。

    由圖1和圖2可以看到，當σ確定時，空間相關值總體趨勢是隨著歸一化間距的增大而相應減小，因此可以通過提高無線電波頻率或增大天線之間距離的方法來增大歸一化間距以減少空間相關性，但這種減少趨勢受θ的影響，會出現一些波動。而θ對空間相關性則有不同的影響，跟天線陣元的結構、位置有關，如對于均勻圓陣，由圖2，陣元1、2之間的空間相關性隨θ的增大而減小，陣元1、4之間的空間相關性則隨著θ的增大相應增大，但陣元1、3之間空間相關性則不是單調關系，θ為45°時空間相關性最大，其余則是關于θ=45°對稱變化。

4.2 誤碼性能分析

    圖3是根據式(10)計算的空間相關性與誤碼率之間的關系曲線，均假設發射端采用2陣元的均勻線陣，接收端采用4陣元的均勻圓陣，發射端的歸一化間距均為2，平均到達角或離開角均為5°。

    圖3(a)中，信噪比一定，改變角度擴展和歸一化間距，隨著角度擴展或歸一化間距的增加，誤碼率降低；但當角度擴展或歸一化間距增加到一定程度后，對誤碼改善的能力趨于平緩。相較而言角度擴展對誤碼性能的影響更大。圖3(b)中，接收端歸一化間距為4，改變角度擴展和信噪比，隨著信噪比的增加，誤碼率降低，當信噪比一定時，與圖3(a)相同；隨著角度擴展的增加，誤碼性能雖得到改善，但這種改善隨著角度擴展的增大逐漸減小。

    由圖3可以看出，當陣元之間的歸一化間距或角度擴展增大時，由3.1節的分析，都會減少天線之間的空間相關性，使得誤碼性能得到了改善，但這種改善隨著歸一化間距的增大或角度擴展的增加而趨于減小。

4.3 信道容量分析

    空間相關性對信道容量的影響如圖4所示。發射端采用2陣元均勻線陣，歸一化間距為2，接收端采用4陣元均勻圓陣，圖4(a)中，接收端歸一化間距為4，當信噪比增加時，瞬時信道容量相應增加，而當信噪比確定時，隨著角度擴展的增大，空間相關性減小，瞬時信道容量相應增加。圖4(b)中，當歸一化間距逐漸增大時，信道容量出現一定波動，這種波動隨著間距的增大和角度擴展的增大而減小，特別是當角度擴展較大時，波動已經很小，說明角度擴展對信道容量的影響較歸一化間距的影響更為顯著。

5 結論

    本文在拉普拉斯角能量分布條件下，以均勻線陣和均勻圓陣為例，分析了MIMO系統的空間相關性模型、空間相關性對誤碼率及信道容量的影響。而天線陣元間的空間相關性主要取決于發射端和接收端天線的拓撲結構、天線間距、發射信號的離開角與角度擴展、接收信號的到達角與角度擴展以及角度功率譜等空間參數。在這些影響因素中，發射信號的離開角或接收信號的到達角對空間相關性的影響跟陣元拓撲結構相關，而歸一化間距和角度擴展的增加均會減小空間相關性，相較而言，角度擴展比歸一化間距對系統的誤碼率和信道容量的影響更大，這是在設計MIMO系統時均要考慮的因素。

參考文獻

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