0 引言

　　高復(fù)雜度、樣本數(shù)據(jù)規(guī)模的持續(xù)增長(zhǎng)是時(shí)間序列的兩大特點(diǎn)[1]。時(shí)間序列預(yù)測(cè)算法是從傳統(tǒng)的以ARIMA模型為核心的線性預(yù)測(cè)算法發(fā)展到以機(jī)器學(xué)習(xí)算法為核心的非線性預(yù)測(cè)算法。線性預(yù)測(cè)算法能夠以較低的計(jì)算復(fù)雜度獲得較為理想的運(yùn)算結(jié)果，非線性預(yù)測(cè)算法能夠很好地逼近任意復(fù)雜度的非線性函數(shù)。而組合預(yù)測(cè)算法針對(duì)同一時(shí)間序列，結(jié)合線性和非線性模型的優(yōu)點(diǎn)，可以獲得更佳預(yù)測(cè)效果。

　　組合預(yù)測(cè)方法由J.M.Bates和C.WJ.Granger在1969年首次提出，并廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。如ARIMA模型和SVM算法的組合在預(yù)測(cè)股票走勢(shì)時(shí)，預(yù)測(cè)精度與單一模型相比有明顯提高[2]。利用粒子群算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法，結(jié)合ARIMA和GM灰色預(yù)測(cè)的三個(gè)模型的組合預(yù)測(cè)也證明了其有效性與精確性[3-4]。ARIMA和BP的組合方案被應(yīng)用于海洋流速、城市交通客流量的預(yù)測(cè)中[5-6]。

　　時(shí)間序列預(yù)測(cè)屬于對(duì)時(shí)間序列規(guī)律的總結(jié)歸納，是犯罪數(shù)據(jù)挖掘的重要應(yīng)用之一[7-8]。在犯罪預(yù)測(cè)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了一系列研究。如對(duì)犯罪預(yù)測(cè)的研究方法的探索[9]；通過(guò)相空間重構(gòu)針對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)，并使用基于粒子群(Particle Swarm Optimized，PSO)優(yōu)化的最小二乘支持向量機(jī)LSSVM建立犯罪趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型[10]；使用SVD算法對(duì)犯罪時(shí)間序列進(jìn)行分解及預(yù)測(cè)[11]等，但單一模型預(yù)測(cè)的精度還有待改善。基于此，如何對(duì)犯罪時(shí)間序列進(jìn)行精確和高效的預(yù)測(cè)成為一個(gè)重要的研究課題。本文提出的混合模型利用ARIMA、LSSVM和組合預(yù)測(cè)法的優(yōu)勢(shì)，對(duì)微軟公共犯罪數(shù)據(jù)集進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論，ARIMA-LSSVM混合模型與常用的ARIMA-BP混合模型相比，預(yù)測(cè)精確度有明顯提高。

1 時(shí)間序列預(yù)處理-相空間重構(gòu)

　　對(duì)于高維時(shí)間序列數(shù)據(jù)，在建模之前需對(duì)序列預(yù)先進(jìn)行相空間重構(gòu)PSR處理。

　　首先對(duì)長(zhǎng)度為N的原始時(shí)間序列Xt={x1，x2，…，xN}進(jìn)行處理，得到延遲序列Y(t)：

　　其中，?子稱為延遲算子或采樣算子，m稱為嵌入的維度。

　　然后建立Y(t)到Y(jié)(t+T)的映射函數(shù)關(guān)系：

　　YF(t+T)=f(Y(t))+et(2)

　　其中，Y(t)為原始序列，YF(t+T)為預(yù)測(cè)序列，et為典型噪聲因子。

　　由式(2)可得：

　　因此預(yù)測(cè)結(jié)果可以表示為：

　　其中，x為t+T+(m-1)子時(shí)刻時(shí)間序列的取值。由式(3)和式(4)可知，YF(t+T)中包含主要預(yù)測(cè)結(jié)果。

　　2 ARIMA模型

　　ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average Model)模型表達(dá)式為ARIMA(p，d，q)。其中d代表差分次數(shù)，p和q分別代表自回歸和移動(dòng)平均系數(shù)。

　　模型定義如下：

　　引入延遲算子(B)：

　　模型簡(jiǎn)化為：

　　若xt為非平穩(wěn)序列，通過(guò)差分得到平穩(wěn)序列zt：

　　其中，d為差分次數(shù)。

　　3 LSSVM模型

　　最小二乘支持向量機(jī)LSSVM 是結(jié)構(gòu)最小化風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為二次損失函數(shù)的支持向量機(jī)。

　　支持向量機(jī)分類器的表達(dá)式為：

　　其中，k=1，…，N；?棕為權(quán)重值，b為結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)則。xk為輸入模式，yk為輸出。?準(zhǔn)為將輸入數(shù)據(jù)映射到高維特征空間的非線性映射。?著k為誤差變量。

　　對(duì)于最小二乘支持向量機(jī)，基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，優(yōu)化問(wèn)題為：

　　其中，?酌>0，為正則化參數(shù)。

　　根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件和Mercer條件，LSSVM的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程，最后得到方程：

　　LSSVM的核函數(shù)徑向基RBF核：

　　其中，?滓為核寬度。RBF內(nèi)核適用于大多數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題，且效率高，處理速度快。使用粒子群優(yōu)化算法PSO優(yōu)化的LSSVM比傳統(tǒng)LSSVM具有更好的分類效果[12]。

　　4 ARIMA-LSSVM混合模型

　　混合模型包括一個(gè)線性模型和一個(gè)或多個(gè)非線性模型。混合模型Zt可以表示為：

　　Ht=Lt+Nt(13)

　　其中，Lt和Nt分別為混合模型的線性和非線性成分。

　　首先由線性模型ARIMA得出序列預(yù)測(cè)值t，與原序列值相減計(jì)算得到預(yù)測(cè)殘差?著t：

　　然后用非線性模型LSSVM對(duì)殘差序列進(jìn)行建模：

　　其中，f(·)為非線性函數(shù)，?著t-n為t-n時(shí)刻的殘差，?駐t為隨機(jī)誤差。

　　最后，殘差序列經(jīng)過(guò)非線性模型修正后得到t，相加得到最終結(jié)果：

　　Granger的實(shí)驗(yàn)證明混合模型要取得最優(yōu)預(yù)測(cè)效果，成員模型應(yīng)該是次優(yōu)的[13]。ARIMA模型在短期預(yù)測(cè)中預(yù)測(cè)誤差較小[14]，混合模型首先利用ARIMA獲取較為精確的預(yù)測(cè)序列，與原序列相減得到殘差序列。殘差序列對(duì)應(yīng)于ARIMA無(wú)法解釋的非線性規(guī)律，然后使用LSSVM模型對(duì)非線性部分進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)。最后將兩部分的結(jié)果相加得到混合模型最終預(yù)測(cè)結(jié)果。算法框架圖如圖1所示。

　　5 實(shí)驗(yàn)

　　5.1 數(shù)據(jù)集

　　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集為1993年~2009年美國(guó)警方記錄在案的犯罪數(shù)據(jù)[15]，實(shí)驗(yàn)環(huán)境為SPSS16.0和MatlabR2011a。

　　5.2 預(yù)測(cè)模型的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

　　使用如下統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果和預(yù)測(cè)效果：

　　其中，Zt、t分別為真實(shí)值和預(yù)測(cè)值。MSE和MAPE分別為均方誤差和平均絕對(duì)百分比誤差。n為預(yù)測(cè)樣本個(gè)數(shù)。eMSE和eMAPE值越小,表明模型的預(yù)測(cè)精度越高。

　　5.3 預(yù)測(cè)模型的參數(shù)選擇

　　ARIMA模型的參數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)圖ACF和偏自相關(guān)函數(shù)圖PACF進(jìn)行選擇。LSSVM模型使用RBF核函數(shù)和二維柵格搜索方法尋找最優(yōu)核參數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)置為3-10-5-1。

　　5.4 實(shí)驗(yàn)方案

　　首先對(duì)模型ARIMA、GM、BP、LSSVM進(jìn)行時(shí)間序列建模，計(jì)算其預(yù)測(cè)誤差，結(jié)果見(jiàn)表1。

　　結(jié)果表明，ARIMA、BP、LSSVM 3種算法的誤差較小。綜合建模和預(yù)測(cè)效果，選取ARIMA、LSSVM、BP作為對(duì)比模型。

　　然后使用本文提出的 ARIMA-LSSVM 混合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)比如圖2所示。橫坐標(biāo)表示時(shí)間序列的序列號(hào)K，縱坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)時(shí)刻的犯罪數(shù)據(jù)。K=12，13，14時(shí)曲線對(duì)應(yīng)于2007～2009年的預(yù)測(cè)值。算法預(yù)測(cè)參數(shù)對(duì)比見(jiàn)表2。

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ARIMA-LSSVM對(duì)犯罪時(shí)間序列的預(yù)測(cè)誤差 MAPE遠(yuǎn)小于其他預(yù)測(cè)模型,預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度也較高。由于單一的線性模型或者非線性模型預(yù)測(cè)具有不穩(wěn)定性，而本文選取的模型充分考慮了時(shí)間序列的平穩(wěn)和非平穩(wěn)性，使預(yù)測(cè)容納更多隱含信息，結(jié)合模型的優(yōu)勢(shì)，大大提高了預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性和精確性，預(yù)測(cè)的結(jié)果更有實(shí)際意義。

6 結(jié)論

　　本文使用ARIMA-LSSVM混合模型對(duì)犯罪時(shí)間序列進(jìn)行組合預(yù)測(cè)，結(jié)果表明與ARIMA-BP混合模型相比, 該模型對(duì)小樣本的犯罪時(shí)間序列具有更高的預(yù)測(cè)精度和有效性。本文屬于針對(duì)時(shí)間信息的歸納與推測(cè)，而結(jié)合空間信息和時(shí)間信息的時(shí)空分析與預(yù)測(cè)更能體現(xiàn)犯罪數(shù)據(jù)之間的緊密聯(lián)系，分析結(jié)果包含更多信息，是未來(lái)進(jìn)一步的研究方向。

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