0 引言

    雙有源全橋DC-DC變換器被廣泛應用于涉及電能儲存的系統中，例如混合電動汽車驅動系統、新能源發電儲能系統、不間斷電源等^[1，2]。為保證儲能系統電壓或功率輸出穩定或是跟隨給定輸出，應設計高動態性能控制策略。而建立系統的數學模型是控制器設計中的重要環節^[3]。所以，對變換器進行精確的建模具有重要意義。

    國內外專家對雙有源全橋DC-DC變換器進行了大量的分析和研究。其中文獻[3]分析了功率傳輸工作特性，建立了雙有源全橋DC-DC變換器狀態空間平均模型，并分析了電感和電容對動態和穩態特性影響；文獻[4]應用離散建模方法，建立了雙有源全橋DC-DC變換器精確的離散小信號模型，設計了雙閉環控制器。

    從上述文獻中可以看出，建立開關變換器模型常用的建模方法是狀態空間平均法、電路平均法及數據采樣建模法等，其中前兩種建模方法簡單實用，但忽略一個開關周期內狀態變量的波動^[5]。在雙有源全橋雙向DC-DC變換器中電感電流波動較大，應用狀態空間平均法建模需降階處理，降低了模型準確度。數據采樣建模方法雖然精確度高，但需要獲得一個周期的穩定值，計算量大，表達式復雜。

    基于以上問題，本文采用一種適合于諧振變換器的建模方法^[6]建立雙有源全橋變換器的小信號模型。廣義狀態平均法將一個時變的狀態方程轉換為線性時不變的狀態方程。文中計算分析變換器工作模態，應用廣義狀態平均法建立系統的小信號模型和穩態模型；通過仿真實驗比較廣義狀態平均法、狀態空間平均法建立的模型與實際拓撲穩態輸出的誤差，驗證廣義狀態平均法的準確性和有效性；最后根據廣義狀態平均法建立的模型設計閉環控制器。

1 廣義狀態空間平均法

    信號分析中可知，若信號x(t)滿足傅里葉變換的條件，則信號x(t)在時間段[t-T，t]中，可以通過式(1)得到信號x(t)傅里葉級數的第k次系數形式。

    當窗口函數在信號的時間軸上滑動，得到的傅里葉系數x_k(t)是關于變量t的函數。

    傅里葉級數是離散頻率的傅里葉變換，所以合理利用傅里葉變換的性質，傅里葉變換的性質中最重要的是微分性質，通過微分性質得到變量的狀態方程，由傅里葉系數表達式得到第k次傅里葉系數的微分方程：

    廣義狀態空間平均法建模用到的傅里葉變換另一重要性質即它的頻域卷積定理，若一個信號的表達式是f(x₁，x₂)=x₁ x₂，其中x₁、x₂都是關于時間t的函數且x₁、x₂的傅里葉變換存在，則函數f(x₁，x₂)的傅里葉變換為：

    應用上述性質便于求得系統狀態量的傅里葉級數系數。開關變換器在每個工作模態都是線性時不變系統，根據一個開關周期內變換器的工作模態，列出時域狀態方程：

其中u(t)是一個開關周期T內關于時間t的函數。

    將廣義狀態空間平均法應用在電力電子變換器中，分別對式(4)等號兩側求第k次傅里葉系數，得到：

    進一步簡化描述系統的狀態方程，應用傅里葉系數的微分性質，得到第k次傅里葉系數的狀態方程，通過系統時域狀態方程得到等號右側關于系數〈x〉_i、〈u〉_i的函數。如式f(x，u)中有二次項或多項式乘法，利用傅里葉變換卷積性質進一步簡化。

    通過信號分析可知，幅值較大的低階次的傅里葉系數能夠充分描述系統的低頻特性。考慮到系數越多，能更精確描述原系統特性，為了簡化計算，減少狀態空間方程的階次，只分析信號的低階分量。

2 雙有源全橋雙向DC-DC變換器的建模

    雙有源全橋雙向DC-DC變換器的拓撲如圖1所示，R_c1、R_c2分別為電容C₁、C₂的內阻，L是高頻變壓器的漏感折算到一次側的等效漏感，R_L是變壓器內阻的等效電阻。變壓器原副邊繞組的匝數比為N，本文為了便于推導，設N=1。

    變壓器兩側的電壓v_ab、v_cd在穩態時可以近似認為是兩個交流方波。雙有源橋DC-DC變換器工作在穩態時，在一個開關周期T內，變壓器兩端電壓和電感電流理想波形如圖2所示，D_φ是隔離變壓器原副邊基波電壓移相角φ與π的比值。

    由于開關管的開關過程較短，為了便于分析,假設開關過程瞬間完成。從圖2中可以看出變換器在一個周期內有4種工作模態，由4種模態的狀態空間方程，得到一個開關周期T內的狀態方程：

    在雙有源全橋工作在功率正向傳輸模式時R_c1=R_c2=R_s1=0，輸入為V₁。因此，用廣義狀態空間平均法建立的模型包含電感電流i_L一次傅里葉系數和輸出電壓u_c2的零次傅里葉系數。由式(6)得到廣義狀態空間平均模型：

    在廣義狀態空間模型中，狀態變量是變換器原變量的傅里葉級數系數，分別列寫由狀態變量實部和虛部組成的狀態方程，得到變換器模型的三階狀態空間方程表示為：

    由微分方程(8)得到變換器的穩態工作點，假設開關變換器的靜態工作點各變量大小為I_c、I_s、U₀。若在穩態工作點附近對輸入變量、狀態變量和變壓器原副邊移相比控制量引入低頻小信號擾動，使變換器的狀態量和輸出變量發生微小變化。用泰勒級數展開進行線性化處理，得到由系統的小信號模型。系統廣義狀態空間平均小信號模型狀態矩陣和輸出矩陣如下：

    根據雙有源全橋雙向DC-DC開關變換器的小信號狀態空間描述方程，利用式(12)求解電壓uc2關于移相比D_φ的傳遞函數。

3 仿真結果

    本文通過MATLAB仿真分析驗證廣義狀態空間平均法建立雙有源全橋雙向DC-DC變換器模型的準確性和有效性，參數見詳表1。

    圖3中比較了廣義狀態空間平均法模型、狀態空間平均法模型的輸出電壓與開關變換器物理模型的開環輸出電壓，其中控制輸入移相比D_φ=0.4。從圖3中可以看出，廣義狀態空間平均模型相比狀態空間平均模型能更準確模擬實際拓撲模型的穩態特性與動態特性。

    通過建立系統的小信號模型設計系統的閉環控制器，使系統獲得較好的動態性能并減小系統的穩態誤差。圖4給出了由廣義狀態空間平均法和狀態空間平均法兩種建模方法建立的模型的開環系統控制-輸出伯德圖。從圖4中可以看出，兩種建模方法建立的模型伯德圖的最大不同在系統的高頻段，產生這種差別的原因是狀態空間平均法忽略了電感電流的波動。

    系統伯德圖表征了閉環系統的動穩態特性及抑制噪聲的能力。因此，為改善開環系統的動態性能，開關變換器的閉環系統的截止頻率一般在開關頻率的1/5~1/20范圍內。為獲得滿意的動態過程，閉環系統的相角裕度為45°~70°，增益裕度在10 dB以上。根據上述要求設計閉環系統的PI控制器。圖5為閉環系統的伯德圖，由圖中可知滿足控制器設計要求。

    圖6為變換器閉環控制系統的輸出電壓和負載電流。在10 ms時加入負載擾動負載電流突變，輸出電壓快速達到穩定。圖6中閉環系統的輸出電壓與圖3中開環系統的輸出電壓相比較可知，設計的閉環控制器使系統響應速度快，準確跟隨給定參考值，有很好的抗干擾能力。

4 結論

    本文基于廣義狀態空間平均法建立的雙有源全橋雙向DC-DC變換器模型準確、有效。基于廣義狀態空間平均法能準確建立雙有源全橋雙向DC-DC變換器的穩態及動態模型；通過合理的簡單近似解決了建模準確性和計算量過大的矛盾；雙有源全橋DC-DC變換器的廣義狀態空間模型為設計滿足穩態及動態性能指標的控制器提供了理論基礎。

參考文獻

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