孔祥昆，于萬波

　　（大連大學 信息學院，遼寧 大連 116622）

       摘要：利用線性函數迭代系統進行迭代可以繪制出樹與山等自然景物，而非線性系統在這方面的研究結果相對較少。本文利用輔助函數與一個隨機生成的多項式函數構成動力系統，其中輔助函數具備類似正弦函數的性質，而多項式函數只含有二次項或者一次項，通過繪制分形圖等方法對系統的混沌特性進行分析，結果表明，一組三維正弦函數與兩個三維多項式函數構造的動力系統是混沌的概率很高，通過迭代可以得到眾多的具有觀賞和實用價值的三維吸引子。除了可以輔助繪制吸引子圖形外，這種構造混沌的方法也是混沌理論研究的一個實例。

　　關鍵詞：混沌；吸引子；曲面；迭代

　　0引言

　　近年來，研究人員對函數迭代系統（Iterated Function System）進行了深入的研究［1］，取得了許多研究成果。例如，研究人員使用線性迭代系統繪制出樹、山等自然景物，從而誕生了分形幾何這一新的學科分支；在非線性函數迭代的研究方面得到了著名的Julia集合與Mandelbrot集合等研究成果［2］。此外還有M.F.Barnsley研究得出的拼貼定理［3］。在其他各個學科領域中，都有關于迭代系統的經典實例，例如，由簡單多項式函數構成的描述大氣運動的Lorenz系統［4］，這一系統促使研究人員開始對混沌進行深入研究；化學反應中也有著許多混沌系統，如Brussels振子［5］；一些人工神經網絡中的系統等也可以出現混沌［6］。對于什么樣的函數構成動力系統才可以出現混沌，文獻［7］選擇插值擬合曲面進行研究。文獻［7］研究發現，如果式（1）

　　中的曲面f(x,y)是雙二次有理貝塞爾（曲面）函數，而另外一個曲面g(x,y)是隨機生成的多項式曲面，則式 (1)所示的動力系統出現混沌的概率可以大于十分之一。在此基礎上，文獻［89］研究了三角函數曲面與隨機多項式曲面構成動力系統的混沌特性，發現在一定的參數區間內，出現混沌的概率可以超過90%，所以三角函數是一種（目前來看）最好的輔助函數。文獻［9］使用三維輔助函數，例如三維三角函數、小波函數、Logistic函數等與兩個三維隨機多項式函數構成動力系統，研究發現其是否出現混沌與三維函數的截面形狀有直接關系。

　　本文在以上研究基礎上，進一步研究了什么樣的曲面構成的動力系統是混沌的，以及如何使用迭代函數系統生成更多的圖形圖案，以用于工業設計、動漫設計等領域。

1二維正弦函數與隨機多項式函數構成動力系統

　　作為輔助函數，正弦函數具有很好的特性，振蕩并占有一定的空間，與另外一個二次隨機多項式構成動力系統，如式（2）所示。使用該動力系統進行迭代，能夠構造出大量的混沌系統［8］。

　　本文進一步研究發現，正弦函數與其他形式的隨機多項式構成動力系統也可以很容易出現混沌，并且能夠產生大量獨特的吸引子圖形。

　　1.1二維正弦函數與沒有xy項的隨機二次函數構成動力系統

　　式（2）中系數是隨機生成的，其中某個系數為0的可能性比較小。如果令某些系數為0，則：

　　令式（3）中的k=3.141 59，隨機生成g(x,y)表達式的系數，其為-1~1之間的數。為了確保迭代能夠正常進行，將多項式g(x,y)函數值調整到-1~1之間。調整方法是：首先計算多項式函數在［0, 1］× ［0, 1］區域上的最大值g(x,y)max和最小值g(x,y)min，然后使用式（4）進行調整：

　　調整之后的函數經過仿真模擬繪制出吸引子圖形，如圖1所示。

　　得到4個吸引子的系數a0，a1，a2，a3，a4分別為:

　　(a)0.401 3，0.965 4，0.613 3，0.407 1，-0.030 1;

　　(b)0.831 9，0.204 0，-0.492 9，0.746 9，0.026 8;

　　(c)0.656 1，0.835 1，-0.773 8，0.624 3，0.816 5;

　　(d)-0.086 1，0.576 3，-0.437 9，-0.550 4，0.817 7。

　　當式（3）中g(x,y)的常數項與一次項系數都為0時，如式（5）所示，這種情形下，也易于出現混沌，但是因為參數少，所以吸引子樣式減少，很容易得到一些中間過渡的吸引子圖形，如圖2所示，其中f(x,y)的參數k=3.141 59。

　　系數分別為:(a)0.756 6，0.283 3;(b)0.369 3，0.957 0;(c)-0.812 1，0.300 1;(d)-0.990 6，0.206 2。

　　實驗結果發現，當g(x,y)沒有平方項或有xy項時，如式（6）與式（7），不易出現混沌。

　　當g(x,y)有常數項、一次項、平方項，也有立方項時，如式（8）所示，可以繪制出眾多吸引子，如圖3所示。

　　f(x,y)=sin(k(x2+y2))

　　g(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5x3+a6y3 （8）

　　得到的吸引子系數分別為：

　　(a)-0.120 2，0.866 8，0.366 7，0.678 5，0.257 6，-0.574 9，-0.732 5；

　　(b)-0.535 3，0.609 7，0.816 8，-0.521 4，-0.900 5，-0.536 2，-0.843 2；

　　(c)-0.248 2，-0.980 2，-0.160 3，0.587 7，0.839 9，0.507 3，0.689 4；

　　(d)0.867 7，-0.725 6，0.043 2，0.790 4。

　　由圖3可知，當式（8）中g(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x3時，出現混沌吸引子的概率小一些（大約在0.5），不過會出現一些面積比較大的混沌，如圖2（d）所示。

　　為了提升出現混沌吸引子的概率，把式（8）中的f(x,y)調整為f(x,y)=sin(k1 x2 + k2 y2)，就會很容易出現混沌，如圖4所示。　

　　此時，吸引子系數分別為：

　　(a)0.539 8，-0.249 9，0.646 8，-0.906 7，0.195 8，0.898 3，-0.422 4，k1=3.141 59,k2=3.8;

　　(b)0.332 2，-0.738 1，-0.809 2，-0.970 3，-0.423 6，0.633 5，0.971 0，k1=3.141 59,k2=2.8。

　　1.2二維正弦函數與隨機多項式函數迭代出現混沌的條件分析

　　周期點在混沌研究中有著重要的作用。如果一個系統沒有不動點（一周期點）和二周期點，那它就不是LiYorke混沌的，也不是Devaney混沌的。另外文獻［8］分析了二維Devaney混沌產生的必要條件與周期點處的導數的乘積的絕對值之間的關系。

　　由文獻［8］結論1和結論2可知，在構造混沌曲面迭代時，周期點處不能太平坦。這里所說的混沌需要滿足Devaney混沌定義中的遍歷性，即對定義域內任何兩個開集U,V∈χ,存在自然數k。

　　結論1動力系統如式（1）所示，如果二元函數f(x,y)與g(x,y)定義域為［0,1］×［0,1］，值域是［0,1］，在定義域內存在關于x,y的偏導數。如果f(x,y)與g(x,y)構成的動力系統是混沌的，那么在其不動點(x0,y0)處存在關于x,y的偏導數，而且關于x,y的偏導數之和：|f′x(x0,y0)|+|f′y(x0,y0)|與|g′x(x0,y0)|+|g′y(x0,y0)|不能同時小于1。

　　結論2動力系統如式（1），如果二元函數f(x,y)與g(x,y)定義域為［0,1］×［0,1］，值域是［0,1］，在定義域內存在關于x,y的偏導數。f(x,y)與g(x,y)構成動力系統，如果在這個動力系統的兩個周期點(x0,y0)與(x1,y1)處關于x,y的偏導數滿足條件： |f′x(x0,y0)|+|f′y(x0,y0)|<1,|g′x(x0,y0)|+|g′y(x0,y0)|<1，|f′x(x1,y1)|+|f′y(x1,y1)|<1,|g′x(x1,y1)|+|g′y(x1,y1)|<1，那么該動力系統不是混沌的。

　　結論3二元連續可導函數構成動力系統如式（1）所示，如果對于N周期中的N個點（N為正整數），都滿足式（9）：

　　那么該動力系統不是混沌的。與Lyapunov指數相比，這種判斷條件雖然不是充分條件，但是也能夠排除諸多的非混沌系統，準確地驗證一個系統是否是遍歷混沌的。另外這種方法不需要計算特征值，不需要取對數，可以節省時間。

　　上面討論的都是二維函數構成的動力系統，三維函數構成的動力系統也存在著類似于結論1和結論2的結果。

2多個動力系統構成非線性函數迭代系統

　　在第1節中研究的是二維函數構成動力系統的情形，下面將多個三維函數構成的動力系統組合在一起，構成隨機非線性迭代系統，按照一定的概率，隨機選取其中的某個動力系統進行迭代，這樣，可以生成更多形式的更加復雜多樣的吸引子圖形。例如使用式(10)所示的動力系統構造隨機非線性迭代系統：

　　使用4個如式（10）所示的動力系統組成一個迭代系統，當f(x,y,z)參數k分別取1.5、2、2.5、3，g(x,y,z)的系數如表1所示，h(x,y,z)的系數如表2所示，這時繪制出的吸引子圖形如圖5所示。

　　使用4個如式（10）所示的動力系統組成一個迭代系統，當f(x,y,z)參數k分別取1.5, 2, 2.5, 3；g(x,y,z)的系數如表3所示；h(x,y,z)的系數如表4所示，這時繪制出的吸引子圖形如圖6所示。 

　　圖6根據表3和表4系數繪制出的吸引子

3結論

　　本文給出了一種實用的混沌吸引子生成方法，利用正弦函數等混沌性質較好的函數與隨機多項式函數構成動力系統進行迭代，可產生大量的具有觀賞和使用價值的吸引子。圖案幾乎不可以窮盡，變化多端，有很多具有相當高的審美價值與研究價值。

　　使用少數的方程構成線性IFS迭代可以生成樹、山等自然景物，使用非線性方程組進行迭代能否很容易地生成動物與人，這是一個需要進一步研究的工作。

參考文獻

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