0 引言

    大規模MIMO(Large-scale MIMO)又稱Massive MIMO，最早由美國貝爾實驗室的MARZETTA T L提出^[1]，該技術在基站配置數十根甚至上百根天線，以獲得更大的空間自由度。文獻[1-4]研究表明，當天線數目趨于無窮大時，瑞利衰落和加性高斯白噪聲等負面影響可以忽略不計，數據傳輸速率能得到極大提高。大規模天線陣列既帶來了性能增益，也帶來了前所未有的挑戰，如傳輸方案設計、迅速增加的硬件復雜度和計算量等。大規模MIMO系統中低復雜度、有效的接收算法是該技術從理論到實現的關鍵。

    近年來，統計學中的一些方法，如基于蒙特卡羅仿真的MCMC檢測算法^[5-8]被引入到MIMO系統中，它利用已知符號的后驗條件概率來迭代地求出下一個符號的后驗條件概率，最后得到發送矢量的后驗概率。MCMC方法的性能主要取決于采樣點數量和迭代次數，與待估計變量維數無關，可以避免算法復雜度隨天線數和調制階數呈指數級增長的問題。傳統的MCMC算法需要經過足夠次數的采樣后，馬爾可夫鏈才能趨于平衡分布。另外，在高信噪比條件下容易出現“陷入”問題(stalling problem)^[7]，即采樣“陷入”某一固定狀態，采樣狀態減少，導致后驗概率估計誤差。針對上述問題，本文采用超松弛迭代的方法構造馬爾可夫鏈，選擇合適的松弛因子加快馬氏鏈的收斂速度。仿真結果表明，該算法提高了系統檢測性能，降低了運算復雜度。

1 系統模型

    本文研究的大規模MIMO系統由一個天線數為N的基站和K個單天線用戶構成，K≤N，考慮該系統的上行鏈路，基站端的接收向量表示為：

其中x為K個用戶的信號發送向量，x=[x₁，x₂，…，x_K]^T；H為N×K維信道矩陣；n是均值為零、協方差N₀I_N的加性高斯白噪聲，n=[n₁，n₂，…，n_N]^T。

    最大似然(Maximum Likelihood，ML)檢測是MIMO系統的最優檢測算法，通過遍歷所有可能的發送信號組合，尋求最優的檢測值，即：

式中(χ)^K表示發送向量x的全部可能取值。隨著收發天線數及調制階數的增加，ML算法搜索空間呈指數級增長，實際難以實現。

2 大規模MIMO信號檢測算法

    大規模MIMO基站天線數量可能達到幾百根以上，傳統MIMO的一些準最大似然方法(如基于QR分解的QRM-MLD算法和球形譯碼(SD)算法)在這里難以采用。探索大規模MIMO系統中高性能、低復雜度的信號檢測算法是要解決的主要問題。文獻[9]將MCMC方法引入大規模MIMO，并獲得了較好的性能。

2.1 MCMC算法

    MCMC檢測通過統計抽樣獲得發送符號矢量，用統計方法估計各符號的后驗概率，其性能和運算量與發送信號的維數無關，只取決于采樣點數量和迭代次數。

    MIMO系統中，多維信號的聯合概率分布如下：

    MCMC算法從條件分布p(x|y，H)中抽取樣值x，形成馬爾可夫鏈。MIMO系統中馬爾可夫鏈狀態數隨x的維數呈指數增加，為了降低采樣復雜度，采用Gibbs采樣構造馬爾可夫鏈。Gibbs采樣^[10]是一種基于條件分布的迭代采樣方法，它利用已知符號的后驗條件概率迭代地求出下一符號的后驗條件概率，最后得到發送信號矢量的后驗概率。第t+1次迭代中第k個符號的Gibbs采樣過程如下：

2.2 MCMC改進算法

    傳統MCMC算法需要經過足夠多次迭代才能收斂至平衡分布，提高馬爾可夫鏈收斂速度能夠降低檢測算法的計算復雜度^[11]，這對大規模MIMO系統尤為重要。因此考慮用超松弛迭代方法(Successive Over-Relaxation，SOR)^[12]來提高馬爾可夫鏈收斂速度。

    將MIMO迭代檢測器看作一個隨機線性系統，考慮基本線性系統模型如下式：

其中，M=H^HH，b=H^Hy。當K取值很大時，M矩陣求逆運算復雜度很高，考慮采用迭代方法來求解^[13]，由于M是對稱矩陣，有：

其中，D是對角矩陣，L是嚴格下三角矩陣。由Jacobi迭代得到第t+1次迭代的解x^(t+1)：

    超松弛迭代法(Successive Over-Relaxation，SOR)引入了松弛因子ω，以加快迭代矩陣的收斂速度，令：

其中，w=-H^Hn，是均值為零、協方差N₀H^HH的加性高斯白噪聲。因此可以由以下分布得到采樣值：

    SOR-MCMC檢測算法實現過程如下：

    (1)輸入接收向量y、信道H、迭代次數T；

    (2)隨機產生初始向量x⁽⁰⁾；

    (3)while t<T do

    (4)for k=1：K

    (5){由式(16)、(15)計算由SOR迭代獲得的采樣點}

    (6)由獲得的采樣值，進行對數似然比（LLR）計算，并進行軟判決。

2.3 算法復雜度分析

    由上面的分析可知，MCMC算法的復雜度主要集中在由迭代采樣構造馬氏鏈，可以先不考慮預條件矩陣處理，即計算和b的運算量。由式(6)可知，傳統MCMC算法獲得采樣值的復雜度為O(N||)，完成一次迭代的復雜度為O(KN||)；而由式(15)，SOR-MCMC中獲得采樣值的復雜度僅為O(||)，完成一次迭代復雜度為O(K||)。當迭代次數增加時，SOR-MCMC復雜度比MCMC算法低更多，特別適用于大規模MIMO系統。

3 仿真結果及分析

    接下來分析上述算法在不同天線方案、不同調制方式下的檢測性能。大規模MIMO系統上行鏈路收發天線數分別為N和K，記為K×N，令收發天線比要求K≤N。為了便于比較算法性能，采用單用戶匹配濾波器檢測（MFD）算法近似最佳的MLD算法，即只考慮單個用戶發送數據，利用MF方法恢復發送信號。

    首先考慮SOR-MCMC算法中松弛因子ω對誤碼率(BER)性能的影響。采用4QAM調制，K=16，信噪比SNR=10 dB時，迭代次數T取20，基站天線數分別為8/16/32的仿真結果如圖1?？梢钥吹?，β較小時，ω對誤碼率的影響更明顯。β較大時，由于天線分集增益，檢測性能得到了提高。ω=1.4時，SOR-MCMC算法檢測性能最好，后面的仿真中都取該值；ω=1即傳統MCMC算法。

    圖2是收發天線數相同時，不同天線配置下幾種算法的性能比較，采用4QAM調制，ω=1.4，T=20。由圖可知，隨著天線數的增加，MCMC和SOR-MCMC算法的性能都有提高，體現了大規模MIMO的特性。高信噪比時，傳統MCMC算法由于陷入問題影響了檢測性能，而SOR-MCMC算法克服了這個問題。在16×16/32×32/64×64等幾種天線配置下，SOR-MCMC的性能都優于傳統MCMC方法，且隨著信噪比的增加，不斷逼近單用戶的MFD算法。

    大規模MIMO的實際應用中，基站天線數一般遠大于用戶數，下面考慮收發天線數不相等時的算法性能。基站天線數N=32、用戶數K分別為8/16/32時各算法性能如圖3，仍采用4QAM調制，ω=1.4，T=20。在圖3所示的幾種天線配置下，SOR-MCMC的性能都優于傳統MCMC方法，還解決了傳統MCMC方法高信噪比時的陷入問題。β較大時，SOR-MCMC算法性能隨著SNR的增大不斷逼近MFD。由圖3可知，在天線配置為8×32時，SOR-MCMC算法誤碼率達到10^-3所需的信噪比與MFD相比只相差0.4 dB。

    采用16QAM調制，其余參數不變，SOR-MCMC算法性能仿真結果如圖4?？梢钥吹?，隨著信噪比的增加，SOR-MCMC算法檢測性能逼近MFD，即該算法在高階調制下仍然有效。

4 結論

    本文主要研究大規模MIMO中低復雜度、有效的信號檢測技術。MCMC算法因復雜度有限獲得較大關注，但傳統MCMC算法需要經過多次采樣才能趨于平衡分布，且在高信噪比時性能不佳。本文提出了一種改進的MCMC算法，通過超松弛迭代獲得Gibbs采樣，構造平衡分布為目標分布的馬氏鏈，通過選擇合適的松弛因子加快馬氏鏈的收斂速度。仿真結果證明，該算法在不同天線方案、不同調制階數下，均能獲得優于傳統MCMC算法的性能，同時計算量更低，非常適用于大規模MIMO系統。

參考文獻

[1] MARZETTA T L.Noncooperative cellular wireless with unlimited numbers of base station antennas[J].IEEE Trans.Wireless Commun.，2010，9(11)：3590-3600.

[2] HOYDIS J，BRINK S T，DEBBAH M.Massive MIMO in the UL/DL of cellular networks: How many antennas do we need?[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications，2013，21(2)：160-171.

[3] RUSEK F，PERSSON D，LAU B K，et al.Scaling up MIMO：opportunities and challenges with very large arrays[J].Signal Processing Magazine，2013，30(1)：40-60.

[4] LARSSON E G，TUFVESSON F，EDFORS O，et al.Massive MIMO for next generation wireless systems[J].IEEE Commun.Magazine，2014，52(2)：186-195.

[5] CHEN R，LIU J S，WANG X D.Convergence analyses and comparisons of Markov Chain Monte Carlo algorithms in digital communications[J].IEEE Trans.on Signal Processing，2002，50(2)：255-270.

[6] DOUCET A，WANG X D.Monte carlo methods for signal processing[J].IEEE Signal Processing Magazine，2005，22(6)：152-170.

[7] BEHROUZ F B，ZHU H D，SHI Z N.Markov chain monte carlo algorithms for CDMA and MIMO communication systems[J].IEEE Trans.On Signal Processing，2006，54(5)：1896-1909.

[8] STEPHEN A L，BEHROUZ F B.Implementation of a markov chain monte carlo based Multiuser/MIMO detector [J].IEEE Trans.on Circuits and Systems，2009，56(1)：246-255.

[9] KUMAR A，CHANDRASEKARAN S，CHOCKALINGAM A，et al.Near-optimal large-MIMO detection using randomized MCMC and randomized search algorithms[C].IEEE ICC，2011：1–5.

[10] SPALL J C.Estimation via markov chain monte carlo[J].IEEE Control Systems Magazine，2003，23(2)：34-45.

[11] HASSIBI B，HANSEN M，DIMAKIS A G，et al.Optimized markov chain monte carlo for signal detection in MIMO systems：an analysis of the stationary distribution and mixing time[J].IEEE Trans.Signal Processing，2014，62(17)：4436-4450.

[12] AXELSSON O.Iterative solution methods[M].Cambridge University Press，1994.

[13] GRANT A，SCHLEGEL C.Convergence of linear interference cancellation multiuser receivers[J].IEEE Trans.Commun.，2001，49(10)：1824-1834.