顧天1，李曉麗1，趙曙光1，鄭鵬遠(yuǎn)2

　?。?.東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620； 2.上海電力學(xué)院 自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090）

      摘要：網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴(kuò)展，趨向于龐大復(fù)雜化。文章針對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部信息傳遞所帶來(lái)的控制滯后等問(wèn)題，在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控的研究基礎(chǔ)上引入能控性指數(shù)的概念，用以描述網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控的性能指標(biāo)；基于二分圖提出算法獲得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控性指數(shù)，并提供每個(gè)控制量相應(yīng)的控制鏈，為后續(xù)劃分大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)群等研究工作提供科學(xué)依據(jù)。

　　關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)；二分圖；能控性指數(shù)

0引言

　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了越來(lái)越多規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，其通常具有空間分布式特征，例如跨區(qū)域的電力網(wǎng)、縱橫交錯(cuò)的交通網(wǎng)等。對(duì)網(wǎng)絡(luò)中若干節(jié)點(diǎn)施加控制以實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)能控，對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可控性進(jìn)行分析，可望在進(jìn)入定量研究前先得到全局的指導(dǎo)信息［1］ ，有助于理解各控制量對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的影響。目前網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可控性是指在不限制控制步數(shù)的情況下，通過(guò)施加控制量使其可控，但隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的各個(gè)組成部分彼此間傳遞信息或狀態(tài)會(huì)帶來(lái)控制作用滯后等問(wèn)題［2］。通過(guò)基于能控性指數(shù)的算法研究可以將大網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分散化進(jìn)行控制，縮短了控制過(guò)程。

1問(wèn)題描述及判據(jù)

　　大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和不穩(wěn)定性。針對(duì)高維性、非線(xiàn)性的大系統(tǒng)，研究其可控性問(wèn)題十分復(fù)雜，可以將其轉(zhuǎn)化為在一定范圍內(nèi)按不同工作點(diǎn)線(xiàn)性化所得的線(xiàn)性系統(tǒng)，進(jìn)而分析轉(zhuǎn)化后的線(xiàn)性系統(tǒng)是否可控［1］ 。考慮由n個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的線(xiàn)性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng):

　　(t)=Ax(t)+Bu(t)(x∈Rn,u∈Rm)(1)

　　令G(α,β)為一個(gè)有向圖用以描述網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)集α={1,2...n}，邊集β=α×α，一條邊(i,j)∈β表示節(jié)點(diǎn)i可達(dá)節(jié)點(diǎn)j，但反之不成立。由i向j所建立的聯(lián)系表示為aij，無(wú)法建立聯(lián)系則為0。j為i的鄰接節(jié)點(diǎn)，定義Ni為i的所有鄰接節(jié)點(diǎn)的集合，j∈Ni。n×n維常值矩陣A用以描述網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)情況；B為n×m維常值輸入矩陣，表示控制器對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響［3］，若對(duì)節(jié)點(diǎn)j直接施加控制器uj則表示為bj。

　　定義1:系統(tǒng)(1)可控的充要條件：

　　rank［B,AB,A2B...An－1B］=n(2)

　　網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控表明其可由任意初始狀態(tài)受控制器驅(qū)動(dòng)到達(dá)任何所需的最終狀態(tài)［4］。其中矩陣An－1B本質(zhì)上體現(xiàn)了從控制器出發(fā)在n－1步路徑內(nèi)與網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)建立了聯(lián)系，根據(jù)定義1引入網(wǎng)絡(luò)能控性指數(shù)μ，對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性指數(shù)μ定義如下：

　　定義2:系統(tǒng)(1)k步可控的充要條件：

　　gr［B,AB,A2B...AkB］=n(3)

　　滿(mǎn)足式(3)的k的最小值即為能控性指數(shù)μ。

　　圖1為由4個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行分析。

　　其中常值矩陣A、B為：

　　分析發(fā)現(xiàn)gr［B,AB,A2B,A3B］=4，符合定義1與定義2，表明該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控，也可稱(chēng)之為3步可控。同時(shí)gr［B,AB］=4，符合定義2，而gr［B］<4,則滿(mǎn)足條件的k的最小值為1，即能控性指數(shù)為1，控制鏈如圖2所示。

2算法

　　將一個(gè)圖的頂點(diǎn)劃分為兩個(gè)不相交集U和V，使得連邊分別連接U、V中的頂點(diǎn)，若存在這樣的劃分則此圖就是一個(gè)二分圖，而邊數(shù)最多的匹配方法即為最大匹配［5］。通過(guò)最大匹配能解決很多實(shí)際問(wèn)題，如棋盤(pán)走法、配對(duì)問(wèn)題等。匈牙利數(shù)學(xué)家Edmonds對(duì)二分圖的最大匹配進(jìn)行研究并得到一種普適性的匈牙利算法。

　　2.1匈牙利算法

　　以圖3為例介紹匈牙利算法的基本思想。

　　首先從1開(kāi)始匹配：1-A，2-C，3-A，如圖3加粗路線(xiàn)，此時(shí)由于A已匹配給1，因此將1-A轉(zhuǎn)變?yōu)?-B，從而成功匹配3-A，如圖4所示。

　　1繼續(xù)匹配4，4-C，如圖4所示。此時(shí)由于C已經(jīng)匹配給2，為了形成更多的匹配邊，因此將4-C轉(zhuǎn)變?yōu)?-D。最終圖5匈牙利算法步驟2最大匹配方案為1-B、2-C、3-A、4-D，如圖5所示。

　　2.2算法Aci

　　研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控性時(shí)，可以將網(wǎng)絡(luò)表示為二分圖，利用最大匹配理論匹配盡可能多的邊，得出為使網(wǎng)絡(luò)可控的一種控制器選取方案，而本文基于可控網(wǎng)絡(luò)分析匹配方案以獲取能控性指數(shù)。

　　假設(shè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如圖6所示。

　　通過(guò)匈牙利算法可知對(duì)節(jié)點(diǎn)1、3、5、9施加控制可使該網(wǎng)絡(luò)可控，但分析控制方案時(shí)會(huì)出現(xiàn)圖7所示匹配方式：

　　由控制器u5控制的節(jié)點(diǎn)群5-6-7-2-8形成了一條控制鏈，但相比于1、3-4、9-10，該條控制鏈顯得較長(zhǎng)，易影響控制作用。

　　在已知網(wǎng)絡(luò)可控的基礎(chǔ)上，從各控制量出發(fā)，根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的可達(dá)關(guān)系逐步匹配節(jié)點(diǎn)形成或長(zhǎng)或短的控制鏈。將一條控制鏈看作一個(gè)子系統(tǒng)，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)劃分成若干子系統(tǒng)后，若其分別為k1,k2，…kn步可控，定義其中最大值為kmax，則整個(gè)大系統(tǒng)稱(chēng)為kmax步可控。kmax需盡可能小，當(dāng)其取值最小時(shí)即為能控性指數(shù)μ。

　　以控制器直接控制的節(jié)點(diǎn)i為起始點(diǎn)，同時(shí)進(jìn)行匹配。由網(wǎng)絡(luò)可控可知每個(gè)節(jié)點(diǎn)都必存在于匹配邊中，因此若匹配完成后仍有節(jié)點(diǎn)未被匹配，則必須改變某節(jié)點(diǎn)的匹配方式，直至所有節(jié)點(diǎn)均被匹配。

　　能控性指數(shù)算法Aci描述如下：

　?。?）列出所有根節(jié)點(diǎn)i(1≤i≤n)；

　?。?）λ:根節(jié)點(diǎn)i的數(shù)目,設(shè)置k=0；

　?。?）重復(fù)步驟（4）~（6）；

　?。?）匹配i的可達(dá)節(jié)點(diǎn)j(i－j),j∈Ni,若j出現(xiàn)重復(fù)則改變前者匹配方式，j的數(shù)目為η,k=k+1,λ=λ+η；

　?。?）令j為新的根節(jié)點(diǎn),匹配其可達(dá)節(jié)點(diǎn)；

　?。?）當(dāng)η=0,λ≠n,節(jié)點(diǎn)σ未匹配(δ可達(dá)σ),退回δ所在步驟,改變其匹配方式為δ－σ,從該步驟開(kāi)始繼續(xù)向下匹配；

　?。?）直至λ=n，n為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目；

　?。?）所有節(jié)點(diǎn)已存在于匹配邊中,μ=k。

3仿真與結(jié)論

　　利用二分圖描述圖6所示網(wǎng)絡(luò)，如圖8所示，箭頭表示始端節(jié)點(diǎn)可達(dá)末端節(jié)點(diǎn)，例如1指向2表示節(jié)點(diǎn)1可達(dá)節(jié)點(diǎn)2。

　　分析圖6網(wǎng)絡(luò)，n=10，k=0，起始點(diǎn)為1、3、5、9，λ=4，第一步如圖9所示。

　　匹配節(jié)點(diǎn)為2、4、6、10，η=4。此時(shí)λ=8，k=1，第二步如圖10所示。

　　匹配節(jié)點(diǎn)為8、7。其中4-2，2在第一步就已匹配(舍去)，轉(zhuǎn)變?yōu)?-8，而此步驟已將8分配給了2，改變匹配方式2-10，而10在第一步就已匹配(舍去)，因此2向下不可再匹配，η=2。此時(shí)λ=10=n，所有節(jié)點(diǎn)已存在于匹配邊中，k=2，μ=2。

　　最終匹配方式如圖11所示，控制鏈為：1-2；3-4-8；5-6-7；9-10。同時(shí)可驗(yàn)證gr［B,AB,A2B］=10，k的最小值為2，即能控性指數(shù)μ=2。

　　以圖12網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例，可控性指數(shù)μ=5，通過(guò)匹配邊將原本關(guān)聯(lián)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)分散化，獲得各條結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了的控制鏈，使得控制作用更有效。

4結(jié)束語(yǔ)

　　本文引入網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能控性指數(shù)的概念并給出能控性判據(jù)，在此基礎(chǔ)上提出算法Aci獲得能控性指數(shù)及相應(yīng)的控制鏈，縮短了控制過(guò)程和時(shí)間。在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)如電網(wǎng)中，大量節(jié)點(diǎn)具有固定的匹配方式，這樣就能為分析網(wǎng)絡(luò)的k步可控性節(jié)省大量時(shí)間，同時(shí)研究各個(gè)控制器所控制的節(jié)點(diǎn)群，可以明顯地從復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)中得到各條清晰的控制鏈，以各控制器為起始點(diǎn)，只需抓住這個(gè)起始點(diǎn)將其從網(wǎng)絡(luò)中抽出便可獲知該控制器依次控制的各個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于研究某些實(shí)際網(wǎng)絡(luò)模型有很大的參考價(jià)值，并可反過(guò)來(lái)服務(wù)于研究控制器的選取。

　　參考文獻(xiàn)

　?。?］ 席裕庚.動(dòng)態(tài)大系統(tǒng)方法導(dǎo)論［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社,1988.

　　［2］ 李健勇,羅永平,黃道穎,等.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)延分布分析與建模［J］.鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,29(4):5053.

　?。?］ Liu Yangyu, SLOTINE J J, BARABA′SI A L. Controllability of complex networks［J］. Nature， 2011，473（12）：167173.

　?。?］ 鄭大鐘.線(xiàn)性系統(tǒng)理論［M］.北京：清華大學(xué)出社,2011.

　　［5］ 邵長(zhǎng)城,張錫哲.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性分析與驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集拓?fù)湫再|(zhì)研究［D］.沈陽(yáng)：東北大學(xué),2012.