0 引言

　　我國現役飛機中，直流電源系統占有重要的地位。該電源系統中對過壓保護電路的延時特性有特殊要求，即反延時特性，電源過壓值越高，延時保護時間越短。為滿足反延時特性的要求，參考文獻[1]提出了通過延時電路并聯的實現方法，根據反延時的要求確定并聯的支路數目，由此得到一種反延時電路。

　　過壓保護電路是直流電源系統安全運行的保障。針對其反延時特性提出的反延時電路的可靠性分析是必要的。電路中電子元器件的壽命服從指數分布[2]。對于指數分布，在定時、定數截尾數據無缺失的情形下，理論和具體的應用方法均比較成熟。曹晉華，程侃[3]的《可靠性數學引論》對無數據缺場合進行了全面的總結。真實試驗環境下，試驗機理、觀測手段及記錄手段不當等會導致部分樣本的丟失，在不能再次進行試驗的情形下，對不完全樣本的可靠性分析，具有一定的研究價值。在定數截尾有缺失的情形下，參考文獻[4]給出了單、雙參數指數分布中參數的最佳線性無偏估計及近似極大似然估計；參考文獻[5]給出了指數分布基于定數截尾有缺失樣本的Bayes估計，并給出了一種近似算法，但計算稍有復雜。參考文獻[6]結合參數的最佳線性無偏估計導出了單參數指數分布的Bayes估計。

　　對于參考文獻[1]中的反延時電路，參考文獻[7]在定時無替換數據無缺失的情形下，給出了可靠性指標的Bayes估計及極大似然估計。鑒于真實的試驗環境，本文結合參數的最佳線性無偏估計，在定數截尾數據缺失的情形下，給出反延時電路可靠性指標的Bayes估計，并結合矩估計法給出了超參數的估計。

1 系統可靠性指標

　　反延時電路中每個電子元器件的壽命均服從參數為的指數分布，其概率密度函數為：

　　反延時電路圖在參考文獻[1，7]中已給出，參考文獻[7]給出了對應的可靠性工程圖，如圖1所示。

　　選取反延時電路系統中單個電子元器件的失效率r(t)、系統可靠度Rs(t)及平均壽命MTTFs作為可靠性指標。由參考文獻[7]可知，當有m種延時要求時，單個部件失效率[7]：

2 Bayes估計

　　在定數截尾數據有缺失的情形下討論可靠性指標的Bayes估計。隨機抽取n個反延時電路系統中的電子元器件進行試驗。當電子元器件的失效數達到r時便停止試驗。得到的失效時刻依次為0≤t1≤t2≤…≤tr(r≤n)，但最終只獲得了k(k<r)個觀察值，由參考文獻[5]可知t的似然函數形式復雜，求解可靠性指標的Bayes估計十分困難，為此本文采用參考文獻[6]中基于最佳線性無偏估計的近似方法來求得的后驗密度函數。

　　2.1 基于最佳線性無偏估計的后驗密度函數

　　已知t1，t2，…，tr獨立同分布，且服從分布F(t|)=1-exp(-t)，t≥0，令t0≡0，則0≡t0≤t1≤t2…≤tr為其順序統計量。設：

　　Mj=(n-j+1)(tj-tj-1)(5)

　　對(5)變形可得：

　　由此可知指數分布的順序統計量可以表示成：

　　由參考文獻[3]可知，M1，…，Mr獨立同分布t≥0，則：

　　其中r0=0，i=1，2，…，k，且由上述條件可知X1，X2，…，Xk是相互獨立的，從而利用參考文獻[8]中Gauss-Markov定理可以得到的最佳線性無偏估計(BLUE)為：

　  的先驗分布為伽馬分布，即：

　　則的后驗分布為：

　　2.2 可靠性指標的Bayes估計

　　單個電子元器件的失效率在平方損失下的Bayes估計為：

　　系統的可靠度為：

　　上式展開后每一項均可表示為Ae-Bt，A、B為常數，即，當m給定，Ai，Bi均是已知的常數。因此令P(A，B)=Ae-B?姿t，則P(A，B)在平方損失下的Bayes估計為：

　　則系統的可靠度Rs(t)在平方損失下的Bayes估計為：

　　對應的系統平均壽命的近似Bayes估計為：

　　當m給定后便可計算出Ai和Bi，帶入式(22)、(23)，便可以得到系統可靠度及平均壽命的Bayes估計。

　　2.3 超參數估計

　　式(19)、(22)、(23)中均含有未知參數，即超參數，則3個可靠性指標的Bayes估計不能直接應用。丟失數據的個數要遠小于樣本總量，因此在有數據缺失的情況下，通過矩估計法來近似估計超參數。先計算t的一階矩和二階矩：

帶入式(19)、(22)、(23)中，得到可靠性指標的Bayes估計。

3 數值模擬

　　為觀察本文方法的估計效果，針對并聯6個支路的反延時電路系統，將可靠性指標的Bayes估計與應用參考文獻[4]方法所得的極大似然估計（MLE）進行了數值模擬比較。根據GB/T1772[2]中規定的電子元器件失效率等級標準，在模擬中，取的真值為=2×10-5(1/h)，對應的系統可靠度Rs(24 000h)為0.668 4。取n=30，70兩種情況，k為數據缺失個數，r為失效數。為排除偶然因素的影響，對于每種組合隨機模擬10 000次，并取所得估計值的均值作為最終的估計結果。

　　利用蒙特卡羅方法模擬產生服從指數分布的樣本數據，再依據k，r的取值，得到最終的截尾樣本數據。根據2.2、2.3節所得結果計算出可靠性指標的Bayes估計，如表1、表2所示，相對偏差對比如圖2所示。

　　結合上述圖表可以看出：(1)單個電子元器件的失效率及系統的可靠度的Bayes估計的相對偏差均小于MLE的相對偏差，可見Bayes估計的估計精度要高于MLE；(2)當截尾樣本數據容量一定時，隨著數據缺失個數k增加，單個電子元器件的失效率及系統的可靠度的Bayes估計和MLE的相對偏差逐漸增大，估計精度降低；且k對MLE的影響大于Bayes估計；(3)r增加時，電子元器件的失效率及系統的可靠度的Bayes估計和MLE的相對偏差逐漸減小，估計精度升高。

　　通過對比發現，Bayes估計的估計效果要優于MLE。這是因為Bayes估計結合了有效的先驗信息，且受數據缺失個數的影響要小于MLE。

4 結論

　　本文討論了定數截尾數據缺失的情形下，反延時電路可靠性指標的Bayes估計。通過數值模擬，將Bayes估計與相應的MLE進行了分析對比。結果表明Bayes估計的相對偏差均要小于所對應的MLE的相對偏差，且受數據缺失個數的影響要小于MLE。所以在定數截尾數據有缺失的場合下，對反延時電路系統的可靠性指標進行估計時，可選用Bayes估計，并且在真實的試驗環境下，應避免數據的大量缺失。

參考文獻

　　[1] 張益平.飛機低壓直流電源系統研究[D].西安：西北工業大學，2004.

　　[2] 付桂翠，陳穎，張素娟，等.電子元器件可靠性技術教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010.

　　[3] 曹晉華，程侃.可靠性數學引論(修訂版)[M].北京：高等教育出版社，2012.

　　[4] BALASUBRAMANIAN K，BALAKRISHNAN N.Estimationfor one-and two-parameter exponential distributions undermultiple type-II censoring[J].Statistical Papers，1992，33(1)：203-216.

　　[5] 王乃生，王玲玲.定數截尾數據缺失場合下指數分布參數的Bayes估計[J].應用概率統計，2001，17(3)：229-235.

　　[6] 龍兵，周良澤.定數截尾數據缺失場合下冷貯備串聯系統可靠性指標的經驗Bayes估計[J].數學的實踐與認識，2011，41(002)：115-121.

　　[7] 高妮，師義民.一種反延時電路的可靠性評估[J].電子技術應用，2008(6)：77-80.

　　[8] 羅雯，魏建中，陽輝，等.電子元器件可靠性試驗工程[M].北京：電子工業出版社，2005.

　　[9] PATNAIK P B.The non-central 2 and F-distribution andtheir applications[J].BiomEtrika，1949，36(1)：202-232.