文獻標識碼： A
DOI：10.16157/j.issn.0258-7998.173080
中文引用格式： 韓瀟，曾立，占豐，等. 基于分段多項式近似的DDFS研究及FPGA實現[J].電子技術應用，2018，44(3)：22-25，30.
英文引用格式： Han Xiao，Zeng Li，Zhan Feng，et al. FPGA implementation of a direct digital frequency synthesizer based on piecewise polynomial approximation[J]. Application of Electronic Technique，2018，44(3)：22-25，30.
0 引言
感應式磁力儀基于法拉第電磁感應原理，用于探測近地空間的低頻交變磁場[1]，它通常自帶標準信號源，用于在軌定標。高質量的定標檢測信號，是保證感應式磁力儀探測到的變化磁場波形和頻譜信息科學性的前提。直接數字頻率合成技術[2](Direct Digital Frequency Synthesis，DDFS)于1971年被J.Tierney首次提出。DDFS采用數字技術，以相位為出發點進行頻率的合成，具有高穩定性，高分辨率和較小的相位噪聲，DDFS的性能指標遠超傳統頻率合成技術，因此廣泛應用于數字通信和精密儀器中。利用直接數字頻率合成技術能為感應式磁力儀提供高精度的標準定標信號源。
DDFS輸出信號的頻率表示為：
其中FCW為頻率控制字，傳統方法的相幅映射結構基于查找表ROM。ROM容量隨輸出的位寬D成指數增長[3]。為了減少ROM容量，將相位累加器的位寬截斷并保留高W位，作為相幅映射的輸入位寬。由于相位截斷，會使合成信號的無雜散動態范圍(Spurious Free Dynamic Range，SFDR)有明顯的下降。非量化輸出的SFDR為所截斷字長的線性函數[4]，可近似為：
D為輸出信號的位寬，SFDR應大于量化信噪比。利用三角函數四分之一象限對稱性的象限壓縮方法，能進一步減少查找表容量，節省75%的資源使用。
僅依賴對相位字的截斷和象限壓縮，無法可觀地減小查找表容量。多種其他幅相映射方法被廣泛研究，通常分為兩大類：
ROM壓縮算法的角分解法[6]和ROM-Less的幅相轉換技術。ROM-Less型DDFS擺脫了大容量查找表的限制，利用邏輯運算，將相位轉為幅度。如旋轉角算法(CORDIC算法)[7]，泰勒級數展開算法[8]，分段線性插值[3]和分段多項式近似法[9]。
在分段多項式近似方法中，隨分段多項式近似算法階數和分段數的增加，在得到更小幅度誤差和高SFDR同時，增加了硬件資源占用和功率消耗。因此平衡分段多項式近似算法的分段數與最高階，是算法硬件實現平衡性能與資源占用的關鍵。
1 分段多項式近似算法方法研究
用不等分的兩段四階偶次冪多項式近似為目標函數，以區間壓縮方法為前提，擬合余弦函數的前四分之一周期。相位分段點α將[0，π/2]分為兩段，擬合目標函數表達式為：
pij(i=1，2，j=0，2，4)表示為第i段，j階的系數。最大幅度誤差MAE和SFDR是評價DDFS輸出信號的兩個重要指標，MAE降低到0時，理論上SFDR為無窮大。由于量化位寬和硬件資源的限制，在實際的硬件電路中無法實現。可通過減小MAE來增大SFDR。
α值固定時，通過最小均方MMSE得到對應目標函數最小誤差的多項式系數：
在相位點為α=π/3處，取得最MMSE，最大絕對誤差為2.1×10-4<2-12。表1為擬合結果多項式的系數。
f(x)的SFDR理論上限可通過傅里葉級數展開獲得，由于所合成的余弦信號為偶對稱信號，且有四分之一象限的對稱性，因此只有奇數的余弦諧波系數非零。
圖1為式(4)算法的傅里葉變換頻譜圖，圖中所示理論上的SFDR上限為94.98 dBc。
基于單段四階偶次冪多項式相幅映射輸出的SFDR理論上限為74.352 dBc[9]。上述近似算法輸出信號的SFDR大于該上限超過20 dBc。
2 基于定點數的相幅映射設計
用霍納法則實現4階偶次多項式可減少一個乘法器使用，降低運算復雜度。
本文所設計的DDFS結構理論上SFDR最大值為94.98 dBc，根據式(2)尋址位寬W應有W>94.98，取W=16，根據式(3)輸出D為15位。上述DDFS結構圖如圖2所示。
2.1 固定系數乘法器優化
數字電路對于2的整數次冪運算能簡化為邏輯左移或者右移，
式中，hik∈{-1，+1}，dik∈{…，-2，-1，0，+1，+2，…}。M的最大值受被乘數的字長制約，應盡可能取小以降低結構的復雜性。圖3所示為量化位寬為14的乘法器優化，其中虛線表示流水線級。
產生π/2弧度所需的固定系數乘法器如圖4所示。
2.2 平方電路優化
平方運算優化分解為并行舍位運算，代替運算后的簡單截取，降低電路的復雜性[10]。圖2中所需的平方電路輸入為15位，輸出為16位。
改進4級流水線的平方電路如圖5右所示。與直接截斷相比僅有1 LSB的舍入誤差，小于2-15。
量化誤差對于SFDR的影響是非線性的，利用Nelder-Mead非線性單純形法來重新計算式(12)中參數，優化后系數見表2。
圖6為定點量化后輸出信號的頻譜，SFDR為約為93.03 dbc，與用浮點數計算下的理論SFDR最大值相差約2 dBc。因此本文的設計方法可在不明顯增加硬件資源消耗的前提下，改善合成信號的SFDR。
3 FPGA仿真與結果分析
為了驗證上述算法設計的結構DDFS的有效性，以ISE為開發平臺，基于Xillinx spatan-6系列 XC6SLX16 FPGA進行系統仿真驗證。
圖7為FCW=127時將程序下載到FPGA中，利用虛擬邏輯分析儀chipscope在線采集到的波形數據。
表3列給出了本文設計方法與其他基于FPGA的DDFS實現的比較。
與文獻[7]算法相比，本文方法在使用更少硬件資源的情況下，能得到輸出誤差更小，并有更大運算頻率的輸出信號。與文獻[11]～文獻[13]相比，在得到同等SFDR水平下，本文所用硬件資源有所減少，同時不影響最大運算頻率。
4 結論
本文利用最小均方法得到的不等分的兩段四階偶次冪多項式為目標函數擬合的余弦函數，可產生大于單段情況下約20 dBc的無雜散動態范圍。根據所得SFDR的上界，分析選擇最優的相幅映射輸入和輸出位寬。優化了固定系數乘法器和平方器，通過Nelder-Mead非線性單純形法來減少量化，舍入和截斷所產生的誤差。與理論上界差值僅為2 dBc，同時該DDFS結構在得到同等SFDR水平下，與其他設計方法比減少了資源使用，該設計方法為新一代天基星載感應式磁力儀的高精度定標信號源提供了新的設計思路。
參考文獻
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作者信息:
韓 瀟1，曾 立1，占 豐2，陳 昱1
（1.北京航空航天大學 空間與環境學院，北京100191；2.山東航天電子技術研究所，山東 煙臺264000）