0 引言

    采樣作為數字處理的前提和基礎，一直以來都是信號處理領域的熱點。但是隨著各領域信號帶寬不斷增加，信號頻率不斷增大，目前的商用數字模擬轉換設備（Analog-to-Digital Convertor，ADC）已經難以達到所需的采樣率要求，就算達到了采樣率要求，大量的樣本數據的存儲和傳輸也將是一大難題。壓縮感知(Compressed Sensing，CS)^[1-2]的出現解決了稀疏寬帶信號采樣后數據量過大的問題，ELDAR Y^[3-4]團隊基于此理論提出了調制寬帶轉換器(Modulated Wideband Converter，MWC)系統及其硬件實現方案，實現了稀疏多帶信號的同步壓縮采樣。由于通信、雷達、醫療等應用領域的信號都可以建模為稀疏多帶信號，因此MWC結構具有很強的實用性。MWC由天線作為信號接收裝置，接收到的無線傳輸信號為低功率信號，信號不可避免會混入噪聲，現有的重構算法都對噪聲比較敏感^[5-11]，這將直接影響恢復效果。因此有必要將經過MWC系統得到的樣本數據進行預處理，去除噪聲后再進行重構。

    本文將小波閾值去噪的思想引入到MWC系統中，為了盡可能保留信號的邊緣信息，提出了基于小波區域閾值去噪的優化還原算法。首先對樣本進行平穩小波變換（Stationary Wavelet Transform，SWT），根據設計的小波系數的選取規則選擇將小波系數置零或保留；然后通過小波重構恢復信號,得到去噪過后的樣本數據，將去噪過后的樣本信號與去噪前的樣本信號相加作為新的樣本，利用現有恢復算法求解支撐集，將該支撐集與不去噪直接求解的支撐集求并集得到最終的支撐集，最后通過求偽逆得到原始信號的恢復信號。

1 MWC的研究現狀

    MWC^[3]的系統框圖如圖1所示，稀疏多帶信號x(t)同時進入m個通道，與在各通道內的周期為T_p的在±1之間隨機變化的偽隨機序列p_i(t)進行混頻。混頻后通過截止頻率為f_s/2的低通濾波器進行濾波，其中f_s=1/T_s。最后通過采樣率為f_s的ADC得到m組采樣序列y_i(n)。將采樣序列y_i(n)送入恢復算法進行恢復，即可求得原始稀疏多帶信號x(t)的支撐集，進而通過頻譜逆搬移重建出信號。

    支撐集重構作為MWC系統的核心部分之一，一直以來都廣受關注^[5-11]。近年來提出的多種算法中正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法^[5]是最經典的恢復算法。ReMBo^[6]、RPMB^[7]、RMMV^[8]、MVT等算法都在一定程度上提高了恢復速率，ISOMP算法^[10]提高了在高信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）條件下的信號重構概率。由上可知，目前的MWC恢復算法研究大多集中于提高恢復速率及改進高SNR條件下的恢復率，在對低信噪比下的恢復性能的改善方面沒有太多進展。

2 基于小波區域閾值去噪的MWC優化還原算法

    傳統的信號去噪方法主要有：傅里葉變換、Wiener濾波、中值濾波、均值濾波、經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）、小波變換等。傅里葉變換去噪適用于信號與噪聲不重合或重合較少的情況，在MWC系統中，采樣之前已經有一個低通濾波器濾除了不需要的高頻部分，剩下的低頻部分中信號與噪聲是重疊的。Wiener濾波適用于信號的基準信號已知的情況，而MWC系統中，樣本信號來源于輸入信號x(t)與偽隨機序列p_i(t)的混頻，是完全隨機的，無法提供該基準信號。中值濾波與均值濾波都對噪聲進行平滑，對沖擊變化的保留效果不好。EMD分解^[12]速度非常慢，嚴重影響了MWC的恢復速率。而小波變換由于其多分辨率特性，能夠有效檢測到信號的突變點，進而區分信號的突變部分和噪聲，從而廣泛地應用于信號和圖像的去噪^[13-14]。

    小波變換與傅里葉變換不同，傅里葉變換在頻域有較好的局部化能力，但是在時域沒有局部化能力，在頻域的微小變化都會使時域每個位置的值產生變化。而小波變換在時頻域都是局部的，能很好地對各時刻附近的頻率信息進行處理。因為MWC中輸入信號x(t)是實時連續信號，偽隨機序列p_i(t)是隨機的序列，所以樣本信號是完全隨機的，在任一時刻附近的頻率特征都很重要。所以用小波變換分析MWC樣本將大大提高準確率。且快速傅里葉變換的時間復雜度是O(nlog₂(n))，而快速小波變換的時間復雜度是O(n)，所以一般情況下，快速小波變換比傅里葉變換快。用下面的公式定義f(n)，n=1，…，N的小波分解：

2.1 小波閾值去噪原理

    DONOHO D^[15]提出小波閾值去噪以來，很多人在其上做了改進。主要思想為：對含噪信號進行各尺度下的小波分解，保留大尺度下的全部小波系數，對于各小尺度下的小波系數設定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數置為0，高于該閾值的小波系數完整保留或做相應收縮處理，最后將處理過后的小波系數利用小波逆變換進行重構，得到去噪后的信號。

    對小波系數一般采用軟閾值和硬閾值方法進行處理^[16]。軟硬閾值各有優缺點，軟閾值整體連續性好，但是軟閾值函數對大于閾值的小波系數進行恒定壓縮，直接影響了重構信號與真實信號的逼近程度，而硬閾值則相反，本文采用如式(2)所示的閾值折中方法，利用一個調節因子α對閾值進行調節，在SNR較低時可將其設置得大一點，SNR較高時可設置得小一點，一定程度上避免了過平滑帶來的失真。

2.2 小波區域閾值去噪

    以上的小波閾值去噪在去除噪聲的同時將幅度較小的信號也去除了，直接影響重構信號的準確度。考慮到噪聲幅度是隨機的，但是信號幅度是連續變化的，所以本文提出了基于小波區域閾值去噪的MWC優化還原算法，首先對樣本進行小波區域閾值去噪，然后將MWC樣本去噪后與原樣本相加得到新的樣本，達到增強信號的目的，再用現有恢復算法求解支撐集，將該支撐集與不去噪直接求解的支撐集求并集得到最終的支撐集，最后通過求偽逆得到原始信號的恢復信號。該去噪方法能在有效平滑噪聲的同時保留信號的邊緣特性，如式（3）所示：

3 實驗仿真與結果分析

    為了驗證本算法的有效性，本節設計了3個實驗：

    (1)隨機取一個單通道的樣本，進行小波區域閾值去噪，對比去噪前后的樣本信號。

    (2)利用OMPMMV算法求解支撐集。相同條件下對比原始信號、去噪前的恢復信號、去噪后的恢復信號。

    (3)相同條件下對比去噪前與去噪后的恢復成功率。

    采用文獻[3]中的信號模型和采樣參數，實驗中的多帶信號由式(4)產生：

其中，參數E_i、B_i、f_i、τ_i分別代表第i個頻帶的能量系數、帶寬、載波頻率和延遲時間；n(t)為高斯白噪聲；N為頻帶數。以下實驗以6個(對稱的3對)頻帶的信號為例，具體信號參數設置為：E={1，2，3}；B={50，50，50}MHz；τ={6.989，3.994，2.995}μs；載波頻率隨機分布在[-f_nyq/2，f_nyq/2]，f_nyq=10 GHz；偽隨機序列長度L=195；f_s=f_p=f_nyq/L=51.28 MHz。

    設置SNR=0 dB，通道數m=50，每通道樣本長度為512。隨機取一個通道的樣本進行小波區域閾值去噪，其中小波基為db1，分解層數為5，對前4層采取區域閾值去噪，第5層小波系數不變，前4層的判斷區域分別設置為[k-3，k+3]、[k-4，k+4]、[k-5，k+5]、[k-10，k+10]，閾值調節因子α=0.5。圖3為無噪聲樣本、有噪聲樣本以及對有噪聲樣本去噪后的樣本信號對比圖，可以看出本文的方法可以有效去除部分噪聲。

    在以上實驗的基礎上設置SNR=10 dB，圖4為一個加入高斯白噪聲的信號及其頻譜圖。圖5和圖6分別顯示出圖4信號MWC采樣后用去噪前的樣本和去噪后的樣本恢復的信號及其頻譜圖。從圖5和圖6可以看出，此時，去噪后樣本的恢復效果在時域和頻域顯示都很好。

    計算恢復成功率時，進行500次蒙特卡羅實驗，將支撐集恢復成功的百分率作為恢復率。這里的恢復成功計算方法見文獻[3]。圖7給出了在以上實驗的基礎上，當SNR∈[-10,20]dB時去噪前后的重構成功率對比圖。可見去噪后的方法在SNR較小時相對于去噪前恢復效果更好，重構率最高可以比去噪前高21.8%(SNR=-6 dB時，去噪前后恢復率分別為43%、64.8%)。

4 結論

    本文利用小波閾值去噪思想，提出了基于小波區域閾值去噪的MWC優化還原算法，在去除樣本噪聲的同時盡可能保留了信號的邊緣信息。仿真實驗表明，本文的算法恢復性能優于去噪前，且在SNR較低時，效果更明顯，重構率最高可以比去噪前高21.8%。本文的算法因為是直接對樣本進行操作，所以可移植性強，可以與其他的減少通道數、減少運行時間等算法并用，進一步提高整個系統的性能。

參考文獻

[1] CANDES J，ROMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(2)：489-509.

[2] DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306.

[3] MISHALI M，ELDAR Y.From theory to practice：sub-nyquist sampling of sparse wideband analog signals[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2010，4(2)：375-391.

[4] MISHALI M，ELDAR Y，DOUNAEVSKY O，et al.Xampling：analog to digital at sub-nyquist rates[J].IET Circuits Devices & Systems，2011，5(1)：8-20.

[5] Chen Jie，Huo Xiaoming.Theoretical results on sparse representations of multiple-measurement vectors[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(12)：4634-4643.

[6] MISHALI M，ELDAR Y.Reduce and boost：recovering arbitrary sets of jointly sparse vectors[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56(10)：4692-4702.

[7] 蓋建新，付平，孫繼禹，等.基于隨機投影思想的MWC亞奈奎斯特采樣重構算法[J].電子學報，2014，42(9)：1686-1692.

[8] Yao Bo，Li Zhi，Hua Wei，et al.Efficient recovery of support set in modulated wideband converter system[J].Journal of Information and Computational Science，2015，12(16)：6043-6055.

[9] 鄧伯華，李健，李智.基于測量向量轉換的MWC支撐集恢復算法[J].四川大學學報(工程科學版)，2015，47(2)：161-165.

[10] Jia Min，Shi Yao，Gu Xuemai，et al.Improved algorithm based on modulated wideband converter for multiband signal reconstruction[J].EURASIP Journal on Wireless Communication and Networking，2016，2016(1)：1-9.

[11] 那美麗，周志剛，李霈霈.基于稀疏傅里葉變換的低采樣率寬帶頻譜感知[J].電子技術應用，2015，41(11)：85-88.

[12] 徐曉剛，徐冠雷，王孝通，等.經驗模式分解(EMD)及其應用[J].電子學報，2009，37(3)：581-585.

[13] HASSANEIN M，HANNA M，SEIF N，et al.Signal denoising using optimized trimmed thresholding[J].Circuits Systems & Signal Processing，2018，37(6)：2413-2432.

[14] 劉明君，董增壽.基于改進小波變換的手臂肌電信號去噪算法的研究[J].電子技術應用，2018，44(3)：122-125.

[15] DONOHO D.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory，2002，41(3)：613-627.

[16] 趙瑞珍，宋國鄉，王紅.小波系數閾值估計的改進模型[J].西北工業大學學報，2001，19(4)：625-628.

作者信息:

文婉瀅，李  智

（四川大學 電子信息學院，四川 成都610065）