摘 要： 當(dāng)GPS信號(hào)發(fā)生阻塞時(shí)，可見衛(wèi)星數(shù)會(huì)不足4顆，這時(shí)迭代最小二乘算法（ILS）與普通擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)都不再適用。針對(duì)這一問題提出了一種改進(jìn)的EKF算法。該算法利用在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運(yùn)動(dòng)特性，建立了改進(jìn)EKF算法的系統(tǒng)模型。通過理論分析得到了濾波器參數(shù)，最后利用真實(shí)的GPS衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在可見衛(wèi)星數(shù)不少于4顆時(shí)，此改進(jìn)的EKF算法定位精度與普通的EKF算法基本相同；在GPS信號(hào)阻塞只有3顆可見衛(wèi)星時(shí)，此改進(jìn)的EKF算法的定位精度明顯優(yōu)于普通的EKF算法。
關(guān)鍵詞： 擴(kuò)展卡爾曼濾波; GPS; 信號(hào)阻塞; 定位解算
GPS衛(wèi)星定位解算是根據(jù)偽距、偽距增量等測(cè)量值，計(jì)算接收機(jī)的位置P、速度V和時(shí)間T等信息的過程。目前GPS實(shí)時(shí)定位解算中最為常用的兩種方法為迭代最小二乘算法（ILS）和擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）。為了準(zhǔn)確計(jì)算接收機(jī)的三維位置以及時(shí)間未知數(shù)的值，解算過程需要至少4顆衛(wèi)星的測(cè)量信息。但是當(dāng)GPS信號(hào)出現(xiàn)遮擋時(shí)，接收機(jī)只能接收到3顆衛(wèi)星的測(cè)量信息，解算方程就不夠4個(gè)，ILS不再適用。參考文獻(xiàn)[1]引入EKF，利用隨著時(shí)間推移的多組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)定位解算，但定位精度也很難滿足用戶的需求。
為了解決上述問題，本文提出了一種改進(jìn)的EKF算法。利用在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運(yùn)動(dòng)特性，建立了改進(jìn)EKF算法的系統(tǒng)模型，并通過理論分析得到了濾波器參數(shù)，最后利用真實(shí)的衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。需要特別指出的是，由于本文提出的改進(jìn)EKF算法利用的是在垂直地面方向上的位置變化緩慢的特征，故而該算法的適用場(chǎng)合為車載等地面用戶的定位解算，不適合在垂直地面方向上高速運(yùn)動(dòng)的情形。
1 定位解算的系統(tǒng)模型
衛(wèi)星定位解算的系統(tǒng)模型包括狀態(tài)模型和觀測(cè)模型兩部分。令向量yt、xt分別表示系統(tǒng)模型的測(cè)量值和系統(tǒng)狀態(tài)參量：
1.1 測(cè)量模型
系統(tǒng)的測(cè)量模型描述了系統(tǒng)測(cè)量值與系統(tǒng)狀態(tài)參量之間的關(guān)系。偽距與系統(tǒng)狀態(tài)參量的關(guān)系可表示為：
1.2狀態(tài)模型
系統(tǒng)的狀態(tài)模型描述了系統(tǒng)狀態(tài)參量的時(shí)間更新過程。由參考文獻(xiàn)[3-4]可知，更新過程的表達(dá)式為：
式(9)中的T為采樣時(shí)間間隔。
式(8)中的wt表示系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的噪聲模型：
2 改進(jìn)的EKF
根據(jù)第1節(jié)中建立的系統(tǒng)模型，系統(tǒng)測(cè)量值yt為2參數(shù)，系統(tǒng)狀態(tài)參量xt為8參數(shù)，為了得到準(zhǔn)確解，故而需要至少4顆有效衛(wèi)星的測(cè)量值。為了能夠滿足用戶需求的定位精度，本文提出利用一般車輛行人等用戶在垂直地面方向上的位置變化緩慢這一運(yùn)動(dòng)特性，增加如下方程：
式(17)中，R1為從用戶在ECEF坐標(biāo)系下的狀態(tài)參量xt到用戶在NED坐標(biāo)系下的狀態(tài)參量mt的轉(zhuǎn)換矩陣，利用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的原理可以求得[2]。A2為用戶在NED坐標(biāo)系下的狀態(tài)參量mt的一步轉(zhuǎn)移矩陣。它們的表達(dá)式如下：
綜上所述，并結(jié)合參考文獻(xiàn)[5]，得到改進(jìn)的EKF算法的計(jì)算過程如下：
根據(jù)理論分析可以得出，改進(jìn)的EKF相對(duì)于普通的EKF來說，增加了一項(xiàng)先驗(yàn)信息，故而使得只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)的定位解算有了4個(gè)解算方程，因此可以相對(duì)準(zhǔn)確地解算出4個(gè)未知數(shù)的值；而在有效衛(wèi)星數(shù)不少于4顆時(shí)，增加的方程(15)仍然滿足，故而也不會(huì)影響定位精度。
3 算法仿真和分析
在本文的算法驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，使用了Leika GPS1200測(cè)量型接收機(jī)在車載動(dòng)態(tài)下采集的GPS信號(hào)的偽距和偽距增量的測(cè)量值，其中偽距測(cè)量值經(jīng)過偽距增量測(cè)量值的平滑。算法的驗(yàn)證是在PC機(jī)上使用Matlab完成的。
在算法驗(yàn)證中，設(shè)置采樣時(shí)間間隔為T=1 s。接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為從靜止?fàn)顟B(tài)變化到在地面上高速運(yùn)動(dòng)最后又逐步靜止。測(cè)試數(shù)據(jù)長度為2 500 s。參考軌跡是接收機(jī)使用動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)差分(RTK)方法測(cè)定的，方差精確至毫米級(jí)。分別在有效衛(wèi)星不少于4顆和只有3顆的情況下，比較了幾種定位解算算法的定位結(jié)果。
3.1 有效衛(wèi)星數(shù)不少于4顆時(shí)的定位結(jié)果
以有效衛(wèi)星數(shù)為4顆為例，分別使用ILS、EKF和改進(jìn)的EKF算法進(jìn)行定位，得到以ECEF坐標(biāo)系下XYZ三維坐標(biāo)表示的定位結(jié)果，如圖1所示。
由圖 1可知，接收機(jī)在前400 s時(shí)基本保持靜止，然后開始運(yùn)動(dòng)至1 600 s，最后逐步靜止至測(cè)試結(jié)束。三種解算方法都可以較好地進(jìn)行定位解算。為了更好地分析定位結(jié)果，畫出圖 1中的XYZ三維坐標(biāo)上的定位誤差的均方根，如圖 2所示。
為了更好地比較ILS、普通EKF與改進(jìn)EKF算法，計(jì)算圖 2中三種算法在XYZ三個(gè)坐標(biāo)方向上的定位結(jié)果的均方根誤差的平均值，如表1所示。
從圖2和表1可以更清晰地看出，在有效衛(wèi)星不少于4顆時(shí)，三種算法在以ECEF坐標(biāo)系表示的XYZ方向上的定位誤差的均方根均不超過20 m，平均定位誤差不超過10 m，定位解算精度都很好。其中改進(jìn)的EKF與普通EKF定位精度相當(dāng)，而ILS的定位均方根誤差抖動(dòng)很小。這是因?yàn)椋慨?dāng)有新的測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，ILS算法都會(huì)經(jīng)過多次迭代計(jì)算直至結(jié)果收斂，而EKF與改進(jìn)的EKF算法均只是利用新息進(jìn)行一次計(jì)算，計(jì)算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ILS，故而定位結(jié)果會(huì)稍有抖動(dòng)。
3.2 有效衛(wèi)星數(shù)只有3顆時(shí)的定位結(jié)果
在有效衛(wèi)星數(shù)只有3顆時(shí)，ILS無法進(jìn)行定位。分別使用普通EKF和改進(jìn)的EKF算法進(jìn)行定位，得到在ECEF坐標(biāo)系下的XYZ三維坐標(biāo)上的定位結(jié)果,如圖 3所示。
為了更好地分析定位結(jié)果，畫出圖 3中的XYZ三維坐標(biāo)上的定位誤差的均方根，如圖 4所示。
為了更好地比較普通EKF算法與改進(jìn)EKF算法，計(jì)算圖 3中兩種算法XYZ三維坐標(biāo)上的定位結(jié)果的均方根誤差的平均值，如表 2所示。
由圖 3、圖 4和表 2可知，在只有3顆有效衛(wèi)星的情況下，普通EKF的定位結(jié)果會(huì)出現(xiàn)明顯的偏移，而本文提出的改進(jìn)的EKF算法的定位結(jié)果與參考軌跡擬合得很好，各個(gè)方向上的平均定位誤差均不超過10 m，定位精度很好。這說明本文提出的改進(jìn)EKF算法在只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)，極大地提高了EKF的定位精度。與理論結(jié)果吻合。
3.3 有效衛(wèi)星為3顆時(shí)改進(jìn)EKF與有效衛(wèi)星為4顆時(shí)普通EKF 的定位結(jié)果
為了進(jìn)一步分析改進(jìn)EKF算法的性能，將改進(jìn)EKF算法在只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)的定位誤差與普通EKF算法在有4顆有效衛(wèi)星時(shí)的定位誤差進(jìn)行比較，如圖 5所示。
計(jì)算圖 5中的兩種情況下XYZ三維坐標(biāo)上的平均誤差的均方根，如表3所示。
由圖 5和表 3可知，在只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)，本文提出的改進(jìn)EKF算法所增加的先驗(yàn)信息與增加一顆衛(wèi)星的測(cè)量信息的效果基本一致。故而說明在出現(xiàn)GPS信號(hào)阻塞的情況下，只有3顆有效衛(wèi)星時(shí)，此改進(jìn)EKF算法的定位解算精度非常好。
綜上所述，利用實(shí)測(cè)的衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：在3顆有效衛(wèi)星的情況下，在靜止?fàn)顟B(tài)和車載狀態(tài)下，改進(jìn)的EKF算法的定位精度均明顯優(yōu)于普通的EKF，且與4顆有效衛(wèi)星時(shí)EKF的定位精度相當(dāng)；在不少于4顆有效衛(wèi)星的情況下，在靜止?fàn)顟B(tài)和車載狀態(tài)下，改進(jìn)EKF算法的定位精度與普通EKF相當(dāng)。由此說明，本文提出增加的先驗(yàn)信息在已有足夠測(cè)量信息時(shí)，并不會(huì)影響定位精度，而只有在3顆有效衛(wèi)星時(shí)，測(cè)量信息對(duì)于定位精度的改進(jìn)與一顆有效衛(wèi)星的測(cè)量信息效果基本一致，從而大大提高了EKF算法的魯棒性。
本文在GPS信號(hào)出現(xiàn)阻塞，有效衛(wèi)星數(shù)降為只有3顆時(shí)，改進(jìn)EKF算法以提高GPS定位解算精度，并使用真實(shí)衛(wèi)星數(shù)據(jù)對(duì)改進(jìn)的EKF算法進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在有效衛(wèi)星不少于4顆時(shí)，本文提出的改進(jìn)EKF的定位精度與EKF相當(dāng)。在GPS信號(hào)阻塞，有效衛(wèi)星數(shù)只有3顆時(shí)，改進(jìn)EKF的定位精度明顯優(yōu)于普通EKF，且與4顆有效衛(wèi)星時(shí)EKF的定位精度相當(dāng)。受本文算法改進(jìn)中所引入的先驗(yàn)信息的限制，本文提出的改進(jìn)EKF算法適合車載等地面運(yùn)用，不適合在垂直地面方向上高速運(yùn)動(dòng)的情形。
參考文獻(xiàn)
[1] COOPER S, DURRANT W H F. A kalman filter model for GPS Navigation of Land Vehicles, IEEE Conference on Intelligent Robots and System(IROS’94),Munich,Germany, 1994(11):12-16.
[2] MISRA P, ENGE P著.全球定位系統(tǒng)——信號(hào)、測(cè)量與性能(第二版).羅鳴,曹沖,肖雄兵,等譯. 北京：電子工業(yè)出版社，2008：103-106.
[3] AGOGINO A, ALAG S, GOEBEL K. Intelligent sensor validation and sensor fusion for reliability and safety enhancement in vehicle control, MOU132, UCB-ITSPRR-95-40, California PATH Ressarch Report, 1995.
[4] KEE C, PARKINSON B W. Wide area differential GPS. Navigation: Journal of The Institute of Navigation.1991,38 (2).
[5] 曹潔,文如泉.非線性濾波算法在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中的研究[J].信息化縱橫，2009,28(18):61-64.