0 引言
小車倒立擺控制能有效反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題、隨動問題及跟蹤問題，因此成為學習自動控制理論，研究自動控制算法較為合適的實驗對象之一。同時，它還具有工程應(yīng)用背景，為理論到實踐的轉(zhuǎn)化提供了橋梁。因此，對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均具有深遠意義。
本文針對本科自動控制原理課程設(shè)計中倒立擺擺桿偏角控制器的在線仿真存在：手扶擺桿起擺不安全，單變量擺桿角度控制器無法同時控制小車的位置，實驗觀測不便等問題，提出并設(shè)計了基于固高公司起擺控制、最優(yōu)小車位置控制、嵌入學生擺桿偏角控制的組合式控制系統(tǒng)。在線仿真實驗表明，組合式控制系統(tǒng)對直線一級倒立擺的控制有效，能滿足本科自動控制原理課程沒計及實驗的安全、自動、直觀、迅捷、可靠的要求。
1 系統(tǒng)建模
小車直線一級倒立擺系統(tǒng)的控制目標是擺桿偏角最大不超過±5°，小車在軌道中間位置左右偏移不超過±10 cm，以達到一種動態(tài)的平衡。
小車直線一級倒立擺實驗系統(tǒng)如圖1所示。對小車和擺桿做受力分析，根據(jù)牛頓運動定律，可得小車直線一級倒立擺動力學模型如式(1)所示。
式中：M為小車質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù)；l為擺桿長；I為擺桿轉(zhuǎn)動慣量；θ為擺桿偏角；x為小車位移；F為小車受力。
由于θ=π+φ，且φ≤1(換算成弧度比較)，u代表被控對象的輸入力F，則對式(1)進行線性化處理，可得式(2)，如下：
對質(zhì)量均勻擺桿，取
,由線性系統(tǒng)理論得系統(tǒng)的狀態(tài)空間如式(3)所示：
2 嵌入式組合控制器的設(shè)計
2．1 系統(tǒng)能控性分析
被控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控性矩陣Uc=[B AB A2BA3B]，通過計算可得rank(Uc)=4，即矩陣Uc的秩等于系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)；被控系統(tǒng)輸出完全可控性矩陣Uo=[CB CAB CA2B CA3B D]，求得rank(Uo)，即矩陣Uo的秩等于系統(tǒng)輸出向量維數(shù)。所以系統(tǒng)可控，可以對系統(tǒng)進行控制器設(shè)計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。
本文所使用的控制器是由自動起擺控制器Swingup Controller、線性二次調(diào)節(jié)器LQR Controller和學生設(shè)計的控制器Controller1組成的嵌入式組合控制器。在Simulink中搭建直線一級倒立擺嵌入式組合控制系統(tǒng)，如圖2所示。
自動起擺控制器Swing-up Controller能夠控制直線一級倒立擺由靜止下垂的穩(wěn)定平衡狀態(tài)自動轉(zhuǎn)化到豎直向上的不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，而無需給擺桿施加力的作用，就可以實現(xiàn)擺桿的自動擺起。
2．2 LQR控制器原理
針對線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程
和輸出方程y(t)=Cx(t)+Du(t)，LQR方法通過確定最佳控制量u(t)=-Kx(t)中的矩陣K，使得控制性能指標
取極小值。其中，x是狀態(tài)向量；u是控制向量；R為正定厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣；Q為正定或半正定厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣。參數(shù)R和Q分別用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。
2．3 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)
系統(tǒng)主要由被控對象、起擺控制器、LQR控制器、學生控制器、位置給定器、角度給定器、運算器和擾動信號發(fā)生器等構(gòu)成。整個系統(tǒng)是在固高公司提供的直線單級倒立擺控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上，設(shè)計邏輯切換單元(LOG)，把學生控制器嵌入系統(tǒng)中，形成嵌入式組合控制的倒立擺控制系統(tǒng)。
2．4 系統(tǒng)的功能
(1)能夠?qū)崿F(xiàn)擺桿的自動擺起。
(2)當擺桿偏角進入±20°范圍時，自動切換到LQR控制器，以實現(xiàn)擺角的控制和穩(wěn)擺；
(3)當擺桿偏角進入±5°范圍時，自動切換到學生控制器穩(wěn)擺。
在穩(wěn)擺過程中，始終由LQR控制器控制小車在適宜位置運動。加入干擾信號后，可以同時在線觀測到小車位置、擺桿角度被控過程和干擾信號的波形。整個運行過程無需人工干預(yù)，實現(xiàn)了安全、自動、迅捷、可靠的設(shè)計目標。多路顯示器Scop可實時顯示小車位置、擺桿角度、干擾信號的動態(tài)變化情況。
2．5 LOG模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)
LOG模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3中左端端子分別為：端子1為擺桿偏角進入±20°范圍時的加速度輸入端；端子2為倒立擺擺桿的角度輸入端；端子3為擺桿偏角進入±5°范圍時的加速度輸入端，端子4為干擾信號的輸入端。中間的Abs和Switch框分別為取絕對值模塊和選擇開關(guān)模塊。右端Acc為邏輯切換單元輸出，即加速度信號。
2．6 邏輯切換單元原理
當擺桿偏角進入±20°范圍時，自動切換到LQR控制器，以實現(xiàn)擺角的控制和穩(wěn)擺；當擺桿偏角進入±5°范圍時，自動切換到作者設(shè)計的控制器穩(wěn)擺。
3 仿真實驗
本文所用實際系統(tǒng)的模型參數(shù)為：l=0．25 m，g=9．8 m／s2，采樣周期T=0．020s。
將上述參數(shù)代入第1節(jié)中系統(tǒng)狀態(tài)空間方程式(3)，可得系統(tǒng)的實際模型(4)如下：
K=[-3．1623 -3．7134 31．1664 5．718 3]在線仿真的實時小車位置(單位：m)、擺桿角度(單位：(°))和干擾變化波形如圖4所示。
嵌入式組合式控制器控制過程中小車位置Pos、擺桿角度Angle和干擾信號Dist的在線仿真響應(yīng)波形變化情況分析如表1所示。結(jié)果表明本文提出的嵌入式組合式控制算法對直線單級倒立擺系統(tǒng)的控制正確、有效。能夠達到自動和安全的控制效果，滿足系統(tǒng)的設(shè)計要求。
4 結(jié)論
本文根據(jù)線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論和自動控制原理沒計了組合式控制器，其可行性和有效性在單級直線倒立擺系統(tǒng)上得到了驗證。該控制器具有簡單、直觀和易于實現(xiàn)的特點。只要擺桿的初始角度在±20°范圍內(nèi)，嵌入式組合控制器都能使倒立擺控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定的倒立平衡狀態(tài)。本文建立的實驗平臺也可作為控制系學生的《自動控制原理》課程設(shè)汁實驗及考核平臺。