0 引言

    物理層網(wǎng)絡(luò)編碼通過在中繼節(jié)點選擇適當?shù)恼{(diào)制解調(diào)技術(shù)，將相互疊加的電磁波信號映射為相應的數(shù)字比特流，然后進行異或處理（即進行了網(wǎng)絡(luò)編碼），使得所有多徑、多播干擾變成網(wǎng)絡(luò)編碼的一部分，充分利用干擾來提高通信系統(tǒng)的性能^[1]。該技術(shù)自2006年提出以來就受到廣泛關(guān)注^[2]。

    在同步條件下將物理層網(wǎng)絡(luò)編碼應用在無線中繼系統(tǒng)傳輸中，可以使網(wǎng)絡(luò)吞吐量比直接網(wǎng)絡(luò)編碼模式和傳統(tǒng)中繼轉(zhuǎn)發(fā)模式分別提高50%和100%，信號傳輸速率也分別提高50%和100%^[3]，此外系統(tǒng)的抗干擾能力和安全性能也得到了提高。但在實際環(huán)境中，由于信道的距離、類型不同，以及不同終端之間振蕩器、晶振頻率等不可能做到完全同步，造成中繼節(jié)點接收到的兩個源節(jié)點信號存在載波相位偏移、載波頻率偏移以及符號偏移，使得物理層網(wǎng)絡(luò)編碼的性能受到損失^[4-6]，因此研究各個因素對系統(tǒng)性能的影響具有重要意義。

    文獻[7-9]從功率方面對系統(tǒng)性能損失進行理論推導和仿真實驗，分析了各種異步條件對功率的影響。然而各種異步條件對系統(tǒng)誤碼率的影響一直缺乏相關(guān)理論。針對上述存在的問題，采用XOR的映射方式，在中繼節(jié)點采用不同的處理方式，完成載波相位、載波頻率偏移以及符號偏移對通信系統(tǒng)誤碼率的理論推導和仿真實驗，為物理層網(wǎng)絡(luò)編碼的工程應用奠定理論基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)模型

    本文考慮如圖1所示的雙向中繼系統(tǒng)模型^[10]，首先兩個源節(jié)點A和B同時向中繼節(jié)點R發(fā)送信息(即多址接入階段)，然后中繼節(jié)點R對兩個目的節(jié)點A和B(也就是源節(jié)點)廣播信息。

    在中繼節(jié)點處理疊加信號的方法主要有：基于符號的疊加（Superposition，SUP）、基于排斥準則的近鄰成簇（Closest-neighbor cluster，CNC）映射^[9]、基于碼字的向量模加（Vector modulo addition,VMA）^[11]和基于比特的XOR等方法。其中基于比特的XOR方法最簡單、最實用^[12]，因此在中繼節(jié)點處采用XOR映射方式處理疊加信號。

2 影響因素及分析

2.1 載波相位的影響

    假設(shè)兩發(fā)送信號載波相位差為θ，使用BPSK調(diào)制，則兩源節(jié)點A和B發(fā)送的信號分別為：

    在中繼節(jié)點處對疊加信號乘以載波2cos(wt)，通過低通濾波器得到信號：

    在相位偏移的條件下，物理層網(wǎng)絡(luò)編碼的映射關(guān)系如表1所示。

    由表1可知：在中繼節(jié)點R處兩個端節(jié)點的和信號a_A+a_B經(jīng)過物理層網(wǎng)絡(luò)編碼映射之后分別得到-1和1，且-1和1的概率相等，均為50%。根據(jù)上述條件可得：

式中f代表映射函數(shù)，由貝葉斯公式和條件概率公式可以推導出：

式中，N₀表示噪聲的方差。通過式(8)可以得到物理層網(wǎng)絡(luò)編碼映射的判決門限r(nóng)₁和r₂，從而推導出在載波相位偏移的條件下中繼節(jié)點接收信號的誤碼率公式：

    圖2是相位偏移θ分別為0、π/5、π/4和2π/5條件下信噪比隨誤碼率的變化曲線。可以看出，隨著載波相位偏移的增加，信噪比對誤碼率的影響越來越小。

    角度θ和信噪比對誤碼率的影響如圖3所示。在圖3的三維圖形中可以發(fā)現(xiàn)，當載波相位偏移達到90°時，系統(tǒng)的誤碼率不再隨著信噪比的變化而變化，而是趨于一個常數(shù)。因此，在物理層網(wǎng)絡(luò)編碼的工程應用中應盡量減少載波相位偏移。

2.2 載波頻率的影響

    假設(shè)兩個發(fā)送信號載波頻率差為Δw，則兩源節(jié)點A和B發(fā)送的信號分別為：

    從式(13)中得到，誤碼率和4個量有關(guān)系，分別是判決門限r(nóng)₁和r₂、載波頻率偏移Δw、幀數(shù)k和采樣周期T。一般情況下取T=1，則誤碼率由r₁、r₂、Δw和k決定。

    當載波頻率偏移較小時，假定取則在SNR=5和SNR=10的條件下，可以得到幀數(shù)k對系統(tǒng)誤碼率的影響，如圖4所示。

    通過圖4可以得到，當載波頻率偏移比較小的時候，隨著幀數(shù)的增加，誤碼率逐漸提高，而且趨于一個常數(shù)。因此，在載波頻率偏移比較小的條件下，應盡量減少幀數(shù)，以降低系統(tǒng)誤碼率。當載波頻率偏移比較大的時候，需要把Δw·k作為整體考慮，將Δw·k的值整合到[0，π/2]之間，其對系統(tǒng)的影響和載波相位偏移對系統(tǒng)的影響相似。

2.3 符號偏移的影響

    假設(shè)兩個發(fā)送信號時間同步誤差為?Δt=εT(-1/2≤ε≤1/2)，則兩源節(jié)點A和B發(fā)送的信號分別為： 

    在中繼節(jié)點處對疊加信號乘以載波2cos(wt)，通過低通濾波器可以得到信號：

    由式(17)得到，時間不同步在降低了信號功率的同時，還引來了符號間干擾。

    為研究方便，取脈沖成形函數(shù)為升余弦滾降函數(shù)，即：

    在有符號偏移的情況下，物理層網(wǎng)絡(luò)編碼的映射關(guān)系如表2所示。

    使用和載波相位偏移類似的方法，得到：

    類似地可以推導出在符號相位偏移的條件下中繼節(jié)點接收信號的誤碼率公式：

    圖5是符號偏移ε分別為0、0.1、0.3和0.5條件下，信噪比對誤碼率的變化曲線。可以得到：在同一信噪比下，隨著符號偏移的增加，系統(tǒng)的誤碼率逐漸升高。當符號偏移為0.5個符號時，系統(tǒng)的誤碼率達到最高，與同步條件(ε=0)下的誤碼率相比，最大相差6 dB。

    圖6為符號偏移和信噪比的變化對誤碼率的影響結(jié)果。由于g(t)是偶函數(shù)，因此圖像關(guān)于ε=0對稱。通過和圖3對比可知，符號偏移對系統(tǒng)誤碼率的影響相對較小。

3 結(jié)論

    本文采用XOR映射方式首次從理論上分別得到載波相位偏移、載波頻率偏移、符號偏移與系統(tǒng)誤碼率的數(shù)學模型。通過仿真實驗可知，在同一信噪比下，隨著載波相位偏移的增加，系統(tǒng)的誤碼率逐漸增加，當相位偏移達到最大值90°時，系統(tǒng)的誤碼率趨于一個常數(shù)，不再隨信噪比變化。在載波頻率偏移條件下，當偏移較小時，幀長的增加也會引起系統(tǒng)誤碼率的增加，當偏移較大時，系統(tǒng)性能受頻率偏差和幀長共同作用。隨著符號偏移的增加，系統(tǒng)的誤碼率相對于同步條件下最大損失6 dB，相比于載波相位偏移損失較小。本文通過理論推導和仿真實驗，為后續(xù)的物理層網(wǎng)絡(luò)編碼工程誤差分析建立了理論參考基礎(chǔ)。

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