真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器（TRNG）在統(tǒng)計(jì)學(xué)、信息安全等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在這些領(lǐng)域中，不僅要求數(shù)據(jù)序列分布均勻、彼此獨(dú)立，而且要求其具有不可預(yù)測(cè)性，能夠抵御針對(duì)隨機(jī)性的攻擊。B.Sunar，W.J.Martin和D.R.STInson提出，真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的性能受3個(gè)因素的影響：熵源（Entropy Source），采集方式（HarvesTIng Mechanism）和后續(xù)處理（Post-Processing）。在電路系統(tǒng)中最常見的三種真隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法為：1）直接放大法：放大電路中的電阻熱噪聲等物理噪聲，通過比較器進(jìn)行比較后獲得隨機(jī)數(shù)序列；2）振蕩采樣法：用帶有抖動(dòng)的慢振蕩器通過D觸發(fā)器采樣一個(gè)周期固定的快振蕩器，輸出隨機(jī)序列；3）離散時(shí)間混沌法：利用混沌電路不可預(yù)測(cè)以及對(duì)初始條件敏感的依賴性的特點(diǎn)產(chǎn)生隨機(jī)序列。基于模擬電路的結(jié)構(gòu)，熵源的統(tǒng)計(jì)分布更加理想，且熵源噪聲不隨采樣周期的變化而改變；基于數(shù)字電路的結(jié)構(gòu)，集成度高，便于在FPGA等通用可編程平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)，但熵源的統(tǒng)計(jì)特性與模擬電路相比不夠理想。
本文嘗試了一種用純數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)的TRNG結(jié)構(gòu)，且不使用諸如PLL等特殊資源，便于設(shè)計(jì)由FPGA驗(yàn)證移植到芯片設(shè)計(jì)。其核心思想是使用反相器和延時(shí)單元構(gòu)成兩個(gè)相互獨(dú)立的振蕩器，由于內(nèi)部噪聲的差異引起的相位偏移作為熵源，經(jīng)過一段時(shí)間振蕩后，隨機(jī)的狀態(tài)由數(shù)字雙穩(wěn)態(tài)電路鎖存。多組振蕩器的輸出，經(jīng)過異或和同步處理后得到隨機(jī)序列。該TRNG在FPGA物理平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)并進(jìn)行了測(cè)試驗(yàn)證。
1 TRNG的設(shè)計(jì)
1.1 相位漂移與抖動(dòng)
由于受到電路中噪聲的影響，數(shù)字電路中時(shí)鐘信號(hào)的周期在每個(gè)不同的周期上可能縮短或者加長(zhǎng)，這就是時(shí)鐘抖動(dòng)。抖動(dòng)可以用許多方法來(lái)衡量和表征，它是一個(gè)均值為零的隨機(jī)變量。振蕩器起振時(shí)刻的差異和電路元件的工藝偏差，使得振蕩器間存在相位漂移。因此抖動(dòng)信號(hào)和相位漂移適合在數(shù)字電路中作為TRNG的隨機(jī)源。
1.2 亞穩(wěn)態(tài)
鎖存器是有邏輯‘1’和‘0’兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的雙穩(wěn)態(tài)器件，但是在特殊情況下其可能進(jìn)入亞穩(wěn)態(tài)，此時(shí)它的輸出是介于‘1’和‘0’之間的中間電平。如圖1所示鎖存器用兩個(gè)反相器和兩個(gè)開關(guān)表征。當(dāng)鎖存器導(dǎo)通時(shí)，采樣開關(guān)閉合，保持開關(guān)打開（圖a）；當(dāng)鎖存器關(guān)閉時(shí)，采樣開關(guān)打開，保持開關(guān)閉合（圖b）。圖c展示了兩個(gè)反相器的直流傳輸特性。當(dāng)鎖存器關(guān)閉時(shí)A=B，穩(wěn)態(tài)是A=B=0和A=B=VDD，亞穩(wěn)態(tài)為A=B= Vm，其中Vm不是一個(gè)合理的邏輯值。因?yàn)殡娖皆谠擖c(diǎn)是相互穩(wěn)定的并且可以無(wú)限期停留，所以稱該點(diǎn)為亞穩(wěn)態(tài)。但是，任何噪聲或者其他干擾都會(huì)使得A和B最終穩(wěn)定在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)中的一個(gè)狀態(tài)。圖d非常形象地表征了亞穩(wěn)態(tài)，它就好像處于山頂?shù)男∏蛉魏胃蓴_都會(huì)使小球滾落到山兩端的穩(wěn)定狀態(tài)。
圖1 亞穩(wěn)態(tài)
1.3 振蕩器的設(shè)計(jì)
如圖2所示，二選一復(fù)用器既作為延遲單元又作為選通單元使用。當(dāng)選通信號(hào)為‘1’時(shí)，形成兩個(gè)相互獨(dú)立、自由振蕩的環(huán)形振蕩器。當(dāng)選通信號(hào)為‘0’時(shí)，兩組反相器交叉相連形成雙穩(wěn)態(tài)器件。自由振蕩時(shí)，兩個(gè)振蕩器之間存在著抖動(dòng)和相位偏移。在振蕩的停止時(shí)刻，即振蕩環(huán)路斷開、兩組反相器交叉連接時(shí)，反相器的瞬時(shí)輸出電壓以及內(nèi)部噪聲的絕對(duì)和相對(duì)值決定了電路最終穩(wěn)定在哪個(gè)邏輯值上。有時(shí)即使反相器跨接在一起，電路也會(huì)振蕩很長(zhǎng)一段時(shí)間才能穩(wěn)定下來(lái)，形成亞穩(wěn)態(tài)。綜上所述，隨機(jī)序列的用到了抖動(dòng)和亞穩(wěn)態(tài)兩種機(jī)制。
圖2 振蕩器結(jié)構(gòu)圖
波形如圖3所示，為了方便數(shù)據(jù)采集選通信號(hào)是由時(shí)鐘經(jīng)過分頻得到的。在自由振蕩階段，輸出信號(hào)快速變化不屬于任何穩(wěn)定狀態(tài)，在圖中用斜線表示。在解析階段，電路是雙穩(wěn)態(tài)器件，此時(shí)應(yīng)該保持解析時(shí)間足夠長(zhǎng)，從而使輸出電平在大多數(shù)情況下穩(wěn)定在邏輯‘1’或‘0’。
圖3 波形圖
1.4 隨機(jī)源模塊的電路設(shè)計(jì)
各個(gè)振蕩器的輸出經(jīng)過異或運(yùn)算可以增加隨機(jī)性，而亞穩(wěn)態(tài)的傳播會(huì)造成后續(xù)電路的錯(cuò)誤動(dòng)作，因此使用同步器將異或后的隨機(jī)序列與后續(xù)電路隔離開來(lái)，同時(shí)也方便采集穩(wěn)定的輸出序列做性能分析。此處采用了三級(jí)寄存器的同步結(jié)構(gòu)，由MTBF（Mean TIme Between Failure）的定義可知，平均需要經(jīng)過數(shù)百年時(shí)間才會(huì)發(fā)生一次亞穩(wěn)態(tài)通過同步器向下傳播的事件，因此是滿足設(shè)計(jì)要求的。該模塊電路圖如圖4所示。
圖4 隨機(jī)源模塊電路
1.5 后續(xù)處理模塊的設(shè)計(jì)
理想情況下，D觸發(fā)器所采集的信號(hào)具有隨機(jī)的統(tǒng)計(jì)特性，可是FPGA內(nèi)部電路不可避免地會(huì)受到溫度漂移、電壓抖動(dòng)等不良因素影響，從而導(dǎo)致采樣得到的隨機(jī)信號(hào)中存在偏置，影響結(jié)果的統(tǒng)計(jì)特性。所以在采樣得到隨機(jī)序列后要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行消偏處理，使0和1出現(xiàn)的概率相當(dāng)。
本設(shè)計(jì)采用16位最大長(zhǎng)度二進(jìn)制偽隨機(jī)序列（Pseudo Random Binary Sequence）的輸出與采樣得到的隨機(jī)序列進(jìn)行異或運(yùn)算作為后續(xù)處理，PRBS產(chǎn)生電路消耗資源少并且使用線性反饋移位寄存器實(shí)現(xiàn)，非常適合于在FPGA上實(shí)現(xiàn)。它的生成多項(xiàng)式是：
多項(xiàng)式表示如圖5所示。
圖5 PRBS的多項(xiàng)式表示
2 TRNG的FPGA實(shí)現(xiàn)與測(cè)試
整個(gè)TRNG的實(shí)驗(yàn)環(huán)境由外部時(shí)鐘源、FPGA開發(fā)板以及邏輯分析儀組成。TRNG采用Xilinx公司的Virtex-5系列中的XC5VLX110作為物理實(shí)現(xiàn)平臺(tái)，外部時(shí)鐘頻率為64 MHz.由FPGA產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)據(jù)，經(jīng)邏輯分析儀采集后，使用DIEHARD battery of tests of randomness隨機(jī)數(shù)測(cè)試程序進(jìn)行測(cè)試，檢驗(yàn)隨機(jī)序列的性能。
DIEHARD測(cè)試是由16項(xiàng)測(cè)試組成的用來(lái)度量隨機(jī)數(shù)發(fā)生器性能的一組統(tǒng)計(jì)學(xué)測(cè)試，它由George Marsaglia開發(fā)并于1995年首次發(fā)布。DIE HARD的測(cè)試結(jié)果叫做P-value，它由方程P-value=Fi（X）計(jì)算得到，其中Fi試圖建立樣本X在0和1間服從均勻分布的分布函數(shù)。因?yàn)镕i是漸進(jìn)逼近的，它在尾部的近似效果變差，所以數(shù)值接近0或1的P-value在真隨機(jī)序列中極少出現(xiàn)。當(dāng)被測(cè)序列隨機(jī)性能很差時(shí)，會(huì)有很多P-value的值是精確到小數(shù)點(diǎn)后數(shù)位的0或者1，例如1.000 000.需要強(qiáng)調(diào)的是，P-value等于1.000 000或0.000000是序列為真隨機(jī)序列的充分不必要條件。
2.1 FPGA位置約束
為保證每個(gè)振蕩器中的兩個(gè)獨(dú)立振蕩環(huán)的理論振蕩周期相同，以便更容易在鎖定期間產(chǎn)生亞穩(wěn)態(tài)，加大噪聲對(duì)輸出電平的影響，同時(shí)盡量讓各個(gè)振蕩器的輸出在進(jìn)行異或運(yùn)算前延遲不出現(xiàn)太大偏差。所以對(duì)TRNG中的振蕩環(huán)進(jìn)行位置約束：將振蕩環(huán)中的反相器約束在左右相鄰的邏輯單元（Slice）中，讓各個(gè)振蕩環(huán)分別約束在上下相鄰的邏輯單元中。
2.2 振蕩器數(shù)目對(duì)統(tǒng)計(jì)特性的影響
在32 MHz的采樣頻率下，分別以15組、19組、27組和32組振蕩器作為TRNG的隨機(jī)源，隨機(jī)序列經(jīng)過同步器后不與PRBS運(yùn)算直接輸出。將采集到的隨機(jī)序列送入測(cè)試程序進(jìn)行測(cè)試以后，其結(jié)果如表1所示。
表1 不同振蕩器數(shù)目的測(cè)試結(jié)果
可以看出，振蕩器的數(shù)目直接影響隨機(jī)源模塊產(chǎn)生序列的統(tǒng)計(jì)性能，振蕩器數(shù)目越多，TRNG輸出序列的隨機(jī)性越好。但是如果振蕩器的數(shù)目太多，會(huì)消耗過多的硬件資源，功耗也過大。因此，不宜通過單純地增加振蕩器數(shù)目的方法提高隨機(jī)序列的性能。
定性分析如下：將序列的每位看作是一個(gè)隨機(jī)的二進(jìn)制變量X，定義b是序列的偏置。即
b=|P（X=1）-1/2|=|P（X=0）-1/2| （2）
根據(jù)Piling-up引理，輸出序列的偏置是：
其中n是輸入序列的個(gè)數(shù)，bi是每個(gè)序列的偏置。容易看出b≤bi（1≤i≤n），等式當(dāng)且僅當(dāng)在bi=0（）或者bi=1/2（）時(shí)成立。簡(jiǎn)而言之，異或運(yùn)算顯著地減小了獨(dú)立輸入序列的偏置。假設(shè)n=16且所有bi=1/3，那么b=0.000 761可以忽略不計(jì)。
2.3 后續(xù)處理模塊對(duì)統(tǒng)計(jì)性能的改善
由上一節(jié)的分析可知，增加振蕩器數(shù)量是改善序列統(tǒng)計(jì)特性的有效方法。但前提條件是各個(gè)振蕩器相互獨(dú)立。當(dāng)振蕩器數(shù)量過多時(shí)位置約束很可能與相互獨(dú)立的要求相互矛盾。因?yàn)楦咚俚恼袷幮盘?hào)往往發(fā)生相互串?dāng)_的情況，并且消耗更多資源和功耗，所以有必要在保證TRNG包含一定數(shù)量的振蕩器的前提下，引入后續(xù)處理模塊。從而達(dá)到消耗資源較少，序列性能較好的目的。
本項(xiàng)測(cè)試以19組振蕩器作為TRNG的隨機(jī)源，輸出序列與PRBS模塊輸出進(jìn)行異或運(yùn)算，然后分別使用32，16，8，2 MHz的采樣時(shí)鐘采集數(shù)據(jù)。將數(shù)據(jù)送入測(cè)試程序進(jìn)行測(cè)試以后，結(jié)果如表2所示。
表2 不同采樣頻率的測(cè)試結(jié)果
可以看出，TRNG生成的隨機(jī)序列全部達(dá)到了預(yù)定的性能指標(biāo)。同時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，采樣時(shí)鐘頻率對(duì)TRNG的輸出統(tǒng)計(jì)特性是有影響的，當(dāng)采樣頻率逐漸降低時(shí)，TRNG的隨機(jī)性能逐步提高。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是由于采樣頻率越高，就與振蕩頻率越接近，二者的相位偏移干擾了隨機(jī)信號(hào)的獲取影響了統(tǒng)計(jì)特性。
3 結(jié)束語(yǔ)
本文嘗試了一種純數(shù)字形式的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器結(jié)構(gòu)，規(guī)模較小、易于移植。電路包含兩個(gè)振蕩環(huán)，分為自由振蕩和鎖存至雙穩(wěn)態(tài)兩個(gè)工作狀態(tài)。利用振蕩環(huán)之間的相位偏移和抖動(dòng)以及雙穩(wěn)態(tài)器件的亞穩(wěn)態(tài)作為隨機(jī)源。本文探討了振蕩器數(shù)量對(duì)序列統(tǒng)計(jì)特性的影響，并在加入后續(xù)處理模塊的情況下試驗(yàn)了多種采樣頻率，經(jīng)測(cè)試隨機(jī)序列完全符合預(yù)定指標(biāo)。