摘 要： 構造出了一個新的只含有一個非線性項的四維非線性動力學系統，研究了該系統的超混沌吸引子、Lyapunov指數、龐加萊映射圖等復雜動力學特征，然后以Multisim電路仿真軟件為平臺進行了仿真實驗，驗證了超混沌系統的混沌現象。
關鍵詞： 一個非線性項；混沌；四維超混沌系統；電路仿真
混沌是指確定的宏觀的非線性系統在一定條件下所呈現的不確定的或不可預測的隨機現象，是非線性動力系統所特有的一種復雜動力系統，混沌理論是20世紀繼相對論和量子力學之后的第三次科學革命。自20世紀60年代Lorenz在一個三維自治系統首次發現混沌吸引子[1]以來，混沌的研究者越來越多，使得混沌理論得到了迅速發展。特別是20世紀90年代計算機科學的運用和發展以來，人們對混沌的認識逐漸加深，其中代表性的有1999年陳關榮等發現的混沌吸引子Chen系統[2]，2002年呂金虎等[3]進一步發現的Lü系統以及2004年劉崇新等[4]提出的三維自治系統。
近年來，研究者構造了許多超混沌系統[5-7]，但對只含有一個非線性項的超混沌系統的研究不多，對這種超混沌系統的控制的研究更少。本文首先構造了一個只有一個非線性項的四維超混沌系統，對其進行了復雜的動力學分析，同時，給出了此超混沌系統的電路實現原理圖，用Multisim電路仿真軟件進行了仿真實驗，證實了混沌系統的存在性。
1 新超混沌系統的分析
1.1 超混沌系統數據模型
混沌是非線性動力系統所特有的復雜動力系統，而含有非線性項是非線性動力系統的必要條件，故非線性項對能否出現混沌起著至關重要的作用。構造出的只含有一個非線性項的新四維動力系統方程式為：
其中a=0.58，其他所有狀態變量均為實數。可見系統(1)只有一個非線性項，通過Matlab仿真得到其三維相圖及各平面相圖如圖1～圖4所示。
觀察圖1～圖4的相軌跡圖可以推測系統(1)可能具有混沌的動力學特征。
1.2 系統的Lyapunov指數
Lyapunov指數是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴張的量，混沌系統和超混沌系統很難區分,可以通過系統的Lyapunov指數來區分。由參考文獻[7]可知，對于一個四維自治的系統,在它的4個Lyapunov指數中，當最大Lyapunov指數為零，其他Lyapunov指數為負時，系統是周期的；當2個最大的Lyapunov指數都為零，其他Lyapunov指數為負時,系統是偽周期的；當最大的Lyapunov指數為正，其他3個Lyapunov指數中有1個為零，其余為負時，系統是混沌的；當有2個最大的Lyapunov指數為正，其他2個Lyapunov指數中有1個為零，有1個為負時，系統是超混沌的。運用Matlab計算出系統(1)的Lyapunov指數，當t→∞時，系統(1)的4個Lyapunov指數為：λL1=0.101 4，λL2=0.014 0，λL3=0，λL4=-0.646 2。由此可知系統(1)是一個超混沌動力系統。
1.3 超混沌系統Poincare映射圖
Poincare映射是一種經典的分析動力系統的技術，可以通過Poincare截面上截點的情況判斷是否發生混沌：當Poincare截面上有且僅有一個不動點或少數離散點時，運動是周期的；當Poincare截面上是一封閉曲線時，運動是準周期的；當Poincare截面上是一些成片的具有分形結構的密集點時，運動是混沌的。系統（1）在z=0截面的Poincare映射圖如圖5所示。
從圖5中可以觀察到截面上是一些成片的具有分形結構的密集點，可以明確知道系統是混沌的，從而也驗證了1.2中的判斷。
2 系統混沌模型電路仿真
對超混沌系統(1)的電路進行了詳細推導，得到超混沌的電路數學模型為：
該超混沌系統的實現電路如圖6所示。
分別在輸出端口處接入示波器，得到系統對應圖2～圖4各相面的仿真相圖，如圖7(a)～圖7(c)所示。
通過觀察可以發現，圖7(a)～圖7(c)與圖2～圖4各相面的Matlab仿真圖一致。
本文構造了一個四維只含一個非線性項的動力系統，對該系統的相軌跡圖、Poincare映射圖、Lyapunov指數等復雜動力學特征進行分析和電路仿真實驗驗證，證實了只含一個非線性項超混沌系統的存在性。
參考文獻
[1] LORENZ E N.Determinstic nonperiodic flow[J].J.Atmos.Sci，1963，20：130-141.
[2] CHEN G R，UETA T.Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(7)：1465-1466.
[3] LV J H，CHEN G R.A new chaotic attractor coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(3)：659-661.
[4] LIU C X，LIU L，LIU T，et al.A new butterfly-shaped attractor of Lorenz-like system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2006，28(5)：1196-1203.
[5] 王光義，丘水生，許志益.一個新的三維二次混沌系統及其電路實現[J].物理學報，2006，55(7)：3295-3301.
[6] 賈紅艷，陳增強，袁著祉.一個大范圍超混沌系統的生成和電路實現[J].物理學報，2009，58(7)：4469-4476.
[7] 周平，危麗佳，程雪峰.只有一個非線性項的超混沌系統[J].物理學報，2009，58(8)：5201-5208.