摘 要： 介紹了CORDIC算法的基本原理,分析了其具體計算方法。針對利用CORDIC流水線實現FFT蝶形運算耗費資源多的問題，依據CORDIC計算迭代系數的方法改進了CORDIC流水線的結構形式，使其適應FFT算法。選用 ALTERA 公司CycloneII系列的EP2C35F672C6 來實現整個FFT 處理器，并對設計進行了時序仿真和硬件仿真。通過比較，計算結果與設計基本一致。
關鍵詞： CORDIC；FFT；Cyclone II；流水線
坐標旋轉計算機CORDIC(The Coordinate Rotational Digital Computer)算法是一種用于計算一些常用的基本運算函數和算術操作的循環迭代算法。其基本思想是用一系列與運算基數相關的角度的不斷偏擺來逼近所需旋轉的角度,從廣義上講它是一個數值型計算逼近的方法。由于這些固定的角度與計算基數有關，運算只有移位和加/減。若用傳統的乘、除等計算方法,需要占用大量的硬件資源，甚至算法是難以實現的，這樣就不能滿足設計者的要求。CORDIC算法正是由此產生的，它僅在硬件電路上用到了移位和加/減，大大節約了硬件資源,使得這些算法在硬件上可以得到較好地實現,從而滿足設計者的要求。根據它的迭代原理，CORDIC單元可以用流水線結構表示，使向量旋轉并行處理，大大加快了蝶形運算的速度[1]。但是CORDIC運算單元的多級迭代也占用了大量的芯片資源，尤其是在使用多個蝶形進行FFT處理時，使用的資源是非常巨大的，為了盡量降低資源占用，對CORDIC流水線進行了結構上的改進。
1 CORDIC算法原理
1959年，VOLDER開發了一類計算三角函數、雙曲函數的算法，其中包括指數和對數運算。此算法的基本思想是用一系列固定的與運算基數相關的角度不斷偏擺從而逼近所需的角度。從廣義上講它是提供一個數值計算的逼近方法。由于這些固定的角度只與計算基數有關，運算只有移位和加減。CORDIC算法雖然可以實現很多基本函數，但一開始并沒有引起人們很大的注意，只是CAGGETT用它來實現二進制和十進制的轉換。整個60年代沒什么進展，直到1971年WALTHER提出統一的CORDIC算法，加上VLSI技術的不斷發展，CORDIC算法才越來越受到人們的重視，并展示出廣泛的應用前景[2]。CORDIC算法已被廣泛用作現代信號處理各種算法實現中的運算單元，諸如離散傅里葉變換、矩陣的分解、矩陣特征值的求解、場分解、線性預測參數的求解等。
如圖1所示，一對直角坐標軸順時針旋轉角度A（點M相對于坐標軸逆時針旋轉），點M的坐標從(x0，y0)變為(x，y)[3-6]。
為了滿足FFT在速度上的要求，CORDIC可以設計成流水線的形式。將需要旋轉的角度加到Z0數據通道，通過Z1與固定角度相加減產生所取的值。需要旋轉的(x0，y0)向量在各級迭代中旋轉方向。Zn通過多次迭代，趨近于零，向量旋轉到相應角度。如果在FFT的蝶形單元中用CORDIC代替復乘單元，只需要將數據的實部和虛部分別加到x0和y0通道，將復乘系數作為角度從Z0處輸入，達到了乘以的目的。實際應用中將FFT使用的角度值存儲在ROM中，由地址發生器控制，在計算時將相應的旋轉角度讀入CORDIC中即可。使用CORDIC算法可以方便快捷地計算FFT蝶形，但是由于迭代次數多，導致耗費資源也比較多。
將CORDIC流水線形式進行改進，如圖3所示，需要旋轉的向量的實部和虛部分別加到X0和Y0數據通道上，系數輸入到D觸發器中與向量保持同步，用來控制向量在各級迭代中旋轉的方向。向量經多次迭代旋轉到相應角度[7-8]。
3 CORDIC的旋轉系數
按照改進后CORDIC的結構，需要事先求出CORDIC的旋轉系數。根據CORDIC 算法的迭代原理以及此結構的具體情況，使用 MATLAB 語言編寫程序求出各級旋轉系數，存在ROM中。時序仿真結果如圖4所示。
圖4是利用改進的CORDIC算法計算的結果。從仿真圖可以看出：當輸入不同的迭代系數C時，就可以計算出不同的結果。
4 FFT處理器的仿真和測試
在完成了FFT的整體設計和具體模塊設計之后，選用ALTERA公司CycloneII系列的EP2C35F672C6來實現整個FFT處理器，并對設計進行了時序仿真和硬件仿真[9-10]。
(1)直流信號的測試
使用MATLAB產生一個直流信號：i=1:256，x(i)=50。輸出計算結果和MATLAB的計算結果比較如圖5所示，MATLAB計算的直流信號FFT結果虛部全為0，實部只有一個值即：X(0)=14 000；FFT處理器的計算結果也一樣：X(0)=6 000，如圖6所示。因為運用CORDIC算法一方面使運算每一級的結果擴大了1.65倍，另一方面為了減少誤差和防止溢出，在FFT處理器的各級都進行了1/2的截尾處理。但是這樣的處理不會影響頻譜的顯示。
(2)三角波信號的測試
仍然使用MATLAB：i=1:128，x(i)=i；(28+i)=128，產生一個三角波信號。MATLAB的計算結果見圖7和圖8，FFT 處理器中輸出計算結果見圖9和圖10。由于FFT 處理器對各級進行了放大和截尾處理，所以為了便于比較，將FFT處理的結果進行了還原(即除以1.65^3/16)，通過圖對實部和虛部進行比較，可以證明計算結果基本一致。
采用CORDIC算法以較少的資源實現了快速乘法器，通過增加CORDIC運算單元的處理位數，減少了算法的誤差。設計使用16位寬，CORDIC單元的誤差不大于2-14，有效位數為13位。FFT有限字長效應長生量化誤差，主要來自輸入量化誤差、系統量化誤差和運算量化誤差。從仿真實驗可以看出，達到了預期目的。
參考文獻
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